[論文レビュー] A large deviation principle for block models

Christian Borgs, Jennifer Chayes+3 more|arXiv (Cornell University)|Jul 28, 2020

Limits and Structures in Graph Theory参考文献 30被引用数 8

ひとこと要約

本稿は、グラフンの枠組みを用いて、密度の高いブロックモデルランダムグラフに対して大偏差原理（LDP）を確立し、正則グラフにおける高いホモモルフィズム密度のようなレアイベントの分析を可能にする。条件付きグラフが元のブロックモデルに類似する「対称的」な領域と、構造が逸脱する「対称性の破れ」の領域を同定し、エドーシュ＝レニイのモデルと類似した再入型相転移を示す。

ABSTRACT

We initiate a study of large deviations for block model random graphs in the dense regime. Following Chatterjee-Varadhan(2011), we establish an LDP for dense block models, viewed as random graphons. As an application of our result, we study upper tail large deviations for homomorphism densities of regular graphs. We identify the existence of a "symmetric" phase, where the graph, conditioned on the rare event, looks like a block model with the same block sizes as the generating graphon. In specific examples, we also identify the existence of a "symmetry breaking" regime, where the conditional structure is not a block model with compatible dimensions. This identifies a "reentrant phase transition" phenomenon for this problem -- analogous to one established for Erdos-Renyi random graphs (Chatterjee-Dey(2010), Chatterjee-Varadhan(2011)). Finally, extending the analysis of Lubetzky-Zhao(2015), we identify the precise boundary between the symmetry and symmetry breaking regime for homomorphism densities of regular graphs and the operator norm on Erdos-Renyi bipartite graphs.

研究の動機と目的

• 密度の高いブロックモデルランダムグラフに対して、グラフンの枠組みを用いた大偏差原理（LDP）を構築すること。
• 正則グラフのホモモルフィズム密度が著しく高いような稀な事象条件下でのブロックモデルグラフの構造を分析すること。
• 上側尾部の偏差における対称的および対称性の破れの領域の間の相転移を特徴づけること。
• エドーシュ＝レニイのグラフに関する先行研究をブロックモデルに拡張し、条件付きグラフ構造がブロック型のままであるか、それともそれから逸脱するかの条件を同定すること。

提案手法

• 固定されたブロック構造とエッジ確率 $p_{ij}$ を持つランダムグラフンとして密度の高いブロックグラフをモデル化し、グラフ極限理論を活用する。
• 大偏差理論を適用して、速度 $n^2$ のLDPを導出し、生成グラフン $W_0$ に対する相対エントロピーに基づくレート関数 $J_{W_0}(f)$ を用いる。
• 正則グラフ $H$ のホモモルフィズム密度 $t(H,G)$ の上側尾部問題を分析し、$t(H,f) \to t_{\text{max}}$ の制約下で $J_{W_0}(f)$ を最小化する変分問題を同定する。
• グラフン位相とカットノルム $\delta_\square$ を用いて、条件付きグラフの収束性および構造的極限を特徴づける。
• 変分問題の最小化子が元の $W_0$ と同じブロック構造を持つブロックモデルである「対称的」領域と、そうでない「対称性の破れ」の領域を同定する。
• 変分解析、関数 $\phi_\tau$ の連続性、および極値グラフ理論のツールを用いて、特に双方向エドーシュ＝レニイのグラフを含む領域の区別を行う。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 正則グラフ $H$ に対してホモモルフィズム密度が著しく高いという条件下で、ブロックモデルグラフが元のブロック構造を保持する条件は何か？
• RQ2 条件付きグラフ構造は、レート関数の最小化子が整合的な次元を持つブロックモデルでない場合、対称性の破れを示すか？
• RQ3 正則グラフのホモモルフィズム密度における、対称的および対称性の破れの領域の正確な境界は何か？
• RQ4 双方向エドーシュ＝レニイのグラフにおいて、上側尾部の領域における隣接行列の作用素ノルムはどのように振る舞い、対称性の破れを示すか？
• RQ5 ブロックモデルにおける相転移は、エドーシュ＝レニイのモデルで観察された再入型転移と類似した形で特徴づけられるか？

主な発見

• 密度の高いブロックモデルランダムグラフに対して、速度 $n^2$ のLDPが、グラフンの枠組みと相対エントロピーをレート関数として用いることで確立された。
• $d$-正則グラフに対しては、ホモモルフィズム密度が高くなる条件下で、元のグラフと同じブロック構造を持つブロックモデルに収束する「対称的」な領域が存在する。
• エドーシュ＝レニイのグラフにクライクや独立集合を埋め込んだような特定の状況では、「対称性の破れ」の領域が出現し、条件付きグラフは整合的な次元を持つブロックモデルではない。
• 正則グラフのホモモルフィズム密度および双方向エドーシュ＝レニイのグラフにおける作用素ノルムに関して、対称的および対称性の破れの領域の境界が正確に特徴づけられた。
• 上側尾部で $t = t_{\text{max}}$ のとき、条件付きグラフはカットノルムで最大化子 $\tilde{f}_{\text{max}}$ に収束し、確率は $J_{W_0}(\tilde{f}_{\text{max}})$ のレートで指数的に減少することが確認され、LDPが裏付けられた。