[論文レビュー] A Locking-Free Weak Galerkin Finite Element Method for Elasticity Problems in the Primal Formulation

Chunmei Wang, Junping Wang+2 more|arXiv (Cornell University)|Aug 16, 2015

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics参考文献 12被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、一般の多角形／多面体メッシュ上で、プライマル定式化における線形弾性のロックフリーで任意の次数の弱ガラーキン有限要素法を提示する。各要素における局所的な問題を通じて離散的弱ひずみおよび応力テンソルを導入することにより、$H^1$および$L^2$ノルムにおける最適収束が達成され、ポisson比が変化しても、特に非圧縮に近い極限においてもロバストな性能を示す。

ABSTRACT

This paper presents an arbitrary order locking-free numerical scheme for linear elasticity on general polygonal/polyhedral partitions by using weak Galerkin (WG) finite element methods. Like other WG methods, the key idea for the linear elasticity is to introduce discrete weak strain and stress tensors which are defined and computed by solving inexpensive local problems on each element. Such local problems are derived from weak formulations of the corresponding differential operators through integration by parts. Locking-free error estimates of optimal order are derived in a discrete $H^1$-norm and the usual $L^2$-norm for the approximate displacement when the exact solution is smooth. Numerical results are presented to demonstrate the efficiency, accuracy, and the locking-free property of the weak Galerkin finite element method.

研究の動機と目的

• ポisson比が0.5に近づく（ほぼ非圧縮材料である）場合でも正確に保たれる、ロバストでロックフリーな線形弾性の有限要素法の開発。
• 一般の多角形／多面体分割上で、任意の多項式次数を有するプライマル定式化の弱ガラーキン有限要素法への拡張。
• ラメ定数$\lambda$に依存しない滑らかな解に対して、離散的$H^1$-ノルムおよび$L^2$-ノルムにおける最適収束率の保証。
• 均一および非均一な多角形メッシュ上での数値実験を通じて、本手法のロバスト性と精度の確認。
• 材料パrameter$\lambda$に依存しないロックフリーな誤差推定の厳密な導出。

提案手法

• 各要素上で部分積分を用いた局所的変分問題により、離散的弱勾配および弱ひずみを定義することで、弱ガラーキン有限要素法の技術を採用する。
• 各要素上で安価な局所問題を解くことにより、離散的弱ひずみおよび応力テンソルを計算し、微分作用素の局所的再構成を可能にする。
• 変位を要素および辺／面で不連続な多項式空間で近似する混合有限要素に類似した弱定式化を用いて、グローバルな離散系を構築する。
• 2種類の有限要素空間を用いる：$V_h$ は $P_k(T)/P_{RM}(e)$ に基づき、$\bar{V}_h$ は $P_k(T)/P_k(e)$ に基づく。それぞれ異なる近似次数に対応する。
• 離散的双一次形は、対称応力-ひずみ関係と力の平衡を弱く強制することで構築され、安定性と整合性を確保する。
• 本手法はプライマル形式で定式化されており、混合変数を導入せずに直接変位を解くが、依然としてロックフリーな挙動を維持する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一般の多角形／多面体メッシュ上において、任意の多項式次数を有するプライマル定式化の弱ガラーキン有限要素法を構築可能か？ また、その手法は、非圧縮に近い極限でもロックフリーであるか？
• RQ2 提案手法は、ラメ定数$\lambda$に依存せず、滑らかな解に対して$H^1$-および$L^2$-ノルムにおける最適収束率を達成するか？
• RQ3 ポisson比が0.5に近づく、すなわちほぼ非圧縮状態において、数値的に本手法はどのように性能を示すか？
• RQ4 連続性を要件としない条件下で、離散的弱勾配およびひずみ作用素を安定的かつ最適収束を達成する形で構築可能か？
• RQ5 正確な解が滑らかで、ラメ定数$\lambda$を広い範囲で変化させた場合、本手法の収束挙動はどのように変化するか？

主な発見

• 変位近似において、離散的$H^1$-ノルムでは$ k+1 $次、$L^2$-ノルムでも$ k+1 $次という最適収束率を達成する。ここで$k$は多項式次数である。
• 数値結果から、$\lambda = 1, 100, 10,000, 1,000,000$ のすべてのテスト値において収束率が最適かつ安定していることが示され、ロックフリー性が裏付けられる。
• $V_h$ で $P_1(T)/P_{RM}(e)$ を用いる場合、$L^2$-誤差は約1.96–1.98次に収束し、$H^1$-ノルム誤差は1.91–1.96次に収束し、最適次数に近づく。
• $\bar{V}_h$ で $P_1(T)/P_1(e)$ を用いる場合、$L^2$-誤差は1.96–1.98次に収束し、$H^1$-ノルム誤差は1.90–1.96次に収束し、再び最適収束に近づく。
• 離散的エネルギーノルム $|||\mathbf{u}_h - Q_h\mathbf{u}|||$ は約0.97–0.99次に収束し、エネルギーに類する誤差測度におけるロバスト性を示す。
• メッシュの細分化やラメ定数の変化に関わらず、収束挙動が一貫しており、$\lambda \to \infty$ に伴う精度の低下がないことから、ロックの存在が確認される。