[論文レビュー] A model for complex analytic equivariant elliptic cohomology from quantum field theory

Daniel Berwick-Evans, Arnav Tripathy|arXiv (Cornell University)|May 10, 2018

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 68被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、背景ゲージ場と自由フェルミオンを伴う2次元 $\nabla=(0,1)$ スーパーシンメトリー量子場理論を用いて、複素解析的等周性楕円コホロジーの幾何的モデルを構築する。自由フェルミオンの分配関数を表現に値を持つものとし、等周性楕円オイラー類と同一視し、$U(1)$-ゲージ場のモジュライスタックが、普遍双対楕円曲線の複素解析的構造と整合する乗法構造を持つことを示し、物理的に楕円的群法則を実現する。

ABSTRACT

We construct a global geometric model for complex analytic equivariant elliptic cohomology for all compact Lie groups. Cocycles are specified by functions on the space of fields of the two-dimensional sigma model with background gauge fields and $\mathcal{N} = (0, 1)$ supersymmetry. We also consider a theory of free fermions valued in a representation whose partition function is a section of a determinant line bundle. We identify this section with a cocycle representative of the (twisted) equivariant elliptic Euler class of the representation. Finally, we show that the moduli stack of $U(1)$-gauge fields carries a multiplication compatible with the complex analytic group structure on the universal (dual) elliptic curve, with the Euler class providing a choice of coordinate. This provides a physical manifestation of the elliptic group law central to the homotopy-theoretic construction of elliptic cohomology.

研究の動機と目的

• すべてのコン pact Lie 群に対して、複素解析的等周性楕円コホロジーのグローバルな幾何的モデルを構築すること。
• 表現に値を持つ自由フェルミオン理論の分配関数を、等周性楕円オイラー類のコycle代表と解釈すること。
• $U(1)$-ゲージ場のモジュライスタックに、普遍（双対）楕円曲線の複素解析的構造と整合する乗法構造が備わっていることを物理的に実現すること。
• 量子場理論を介して、ホモトピー論的楕円コホロジー構成の物理的実現を確立すること。

提案手法

• 等周性楕円コホロジーのコycleは、$\nabla=(0,1)$ スーパーシンメトリーと背景ゲージ場を伴う2次元シグマ模型の場の空間上の関数として定義される。
• 表現に値を持つ自由フェルミオン理論の分配関数は、決定的ラインバンドルのセクションと同一視され、（ねじれ付きの）等周性楕円オイラー類のコycleを表す。
• $U(1)$-ゲージ場のモジュライスタックが、普遍（双対）楕円曲線の複素解析的群法則と整合する乗法構造を持つことが示された。
• 解析的条件は、$SL_2(\mathbb{Z})$-作用に伴う制限写像とリー代数のスケーリングを介して課され、楕円曲線の複素構造と整合することを保証する。
• $\widehat{\rm Bun}_G(E)$ のモジュライスタック上に、歪みセクター上で定義された微分的可換代数の層が構成され、不変性および解析的条件を満たす。
• 構成は $\pi_0(G)$-および $SL_2(\mathbb{Z})$-不変性を組み込み、$\beta$ およびリー代数の双対のスケーリングにより変換の整合性を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 量子場理論を用いて、複素解析的等周性楕円コホロジーの幾何的モデルをどのように構築できるか。
• RQ2 表現に値を持つ自由フェルミオン理論の分配関数は、等周性楕円オイラー類のコycle代表と解釈できるか。
• RQ3 $U(1)$-ゲージ場のモジュライスタックは、普遍（双対）楕円曲線の複素解析的構造と整合する乗法構造を持つか。
• RQ4 ホモトピー論的楕円コホロジーの中心的役割を果たす楕円的群法則は、この枠組みにおいてどのように物理的に実現されるか。

主な発見

• 本稿は、2次元 $\nabla=(0,1)$ スーパーシンメトリー量子場理論を用いて、すべてのコン pact Lie 群に対して複素解析的等周性楕円コホロジーのグローバルな幾何的モデルを構築した。
• 表現に値を持つ自由フェルミオン理論の分配関数が、（ねじれ付きの）等周性楕円オイラー類のコycleを表すことが示された。
• $U(1)$-ゲージ場のモジュライスタックは、普遍（双対）楕円曲線の複素解析的群構造と整合する乗法構造を持つ。
• オイラー類は、モジュライスタック上の座標の標準的選択を提供し、物理的状況で楕円的群法則を実現する。
• 構成は $SL_2(\mathbb{Z}) \times \pi_0(G)$-不変性を満たし、$\beta$ およびリー代数の双対のスケーリングにより変換の整合性が保証された。
• $\widehat{\rm Bun}_G(E)$ 上の微分形式の層は、$\mathcal{O}$-加群として適切に定義されており、$G_0$-作用および $SL_2(\mathbb{Z})$-作用の下で不変性および解析的条件を満たすことが示された。