[論文レビュー] Equivalence of string and fusion loop-spin structures

Chris Kottke, Richard Melrose|arXiv (Cornell University)|Sep 1, 2013

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 12被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、スピン多様体 $M$ の自由ループ空間上の融合的ループスピン構造の同値類と、$M$ 上のストリング構造との間の1対1対応を、レッドンが導入した $ extrm{C}(F)$ と呼ばれるコホモロジー類のアフィン空間を介して確立する。この対応は、強い滑らかさおよび微分同相変換群に関する不変性を備え、射影的ユニタリ bundle と bundle gerbe のホロノミーを用いて構成される。このようなループスピン構造が存在するのは、$M$ 上で $rac{1}{2}p_1 = 0$ であるときであり、これは楕円コホモロジーにおける長年の予想を裏付け、ディラック＝ラムゼイ作用素の解析的考察への道筋を示す。

ABSTRACT

The importance of the fusion relation of loops was recognized in the context of spin structures on the loop space by Stolz and Teichner and further developed by Waldorf. On a spin manifold M the equivalence classes of `fusive' spin structures on the loop space LM, incorporating the fusion property, strong regularity and reparameterization-invariance, are shown to be in 1-1 correspondence with equivalence classes of string structures on M. The identification is through the affine space of `string' cohomology classes considered by Redden.

研究の動機と目的

• スピン多様体 $M$ の自由ループ空間上に、完全な微分同相変換群 $\textrm{Dff}(\mathbb{S})$ に関して不変な滑らかで融合的なループスピン構造が存在するかという、長年の未解決問題を解消すること。
• ワルドールとレッドンの先行研究を基盤として、融合的ループスピン構造と $M$ 上のストリング構造との間の直接的で滑らかな対応を確立すること。
• ホロノミーとバンドルゲーブを用いて、ストリング構造のトランスグレッションとレグレッションを明示的に構成し、強い滑らかさおよび融合性を保証する幾何的実現を与えること。

提案手法

• 基本的中心拡大 $\mathcal{L}{\operatorname{Spin}}$ に対する主 bundle として融合的ループスピン構造を構成し、パスの連結と整合する融合積を持つこと。
• $\mathcal{L}M$ 上の射影的ユニタリ bundle のホロノミーを用いて、$H^3(M;\mathbb{Z})$ から $H^3(F;\mathbb{Z})$ へのトランスグレッション写像を定義する。ここで $F$ はスピンフレーム bundle である。
• マーレーの意味におけるバンドルゲーブを用いて、$\operatorname{C}(F)$ に属するコホモロジー類のレグレッションを実現し、$\operatorname{Dff}(\mathbb{S})$ に関する滑らかさと不変性を保証すること。
• ブリリニスキの「スーパー滑らかさ」条件に類似した、繊細な滑らかさ条件（強い滑らかさ）をループスピン構造に導入すること。
• $F$ 上の関連するバンドルゲーブのディクシエ＝ダウディ類が、$\operatorname{C}(F) \subset H^3(F;\mathbb{Z})$ のコセットとして、融合的ループスピン構造を分類することを示すこと。
• $\operatorname{Dff}(\mathbb{S})$ による作用に関して、関連する $\operatorname{U}(1)$-bundle $E\mathcal{L}{\operatorname{Spin}}$ が不変であることを証明し、方向反転を伴う微分同相写像では符号が $-1$ になることを示し、融合性を確立すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 スピン多様体 $M$ に対して、円周 $\mathbb{S}$ の全微分同相変換群 $\operatorname{Dff}(\mathbb{S})$ に関して不変な、滑らかで融合的なループスピン構造が $\mathcal{L}M$ 上に存在するか？
• RQ2 ワルドールとレッドンの存在結果を超えて、このような融合的ループスピン構造と $M$ 上のストリング構造との間の直接的で滑らかな対応は存在するか？
• RQ3 ホロノミーとバンドルゲーブを用いて、ストリング構造のトランスグレッションとレグレッションを明示的に構成可能であり、強い滑らかさおよび融合性を保つことができるか？

主な発見

• 融合的ループスピン構造の同値類と、$H^3(F;\mathbb{Z})$ のコセット $\operatorname{C}(F)$ に属するコホモロジー類との間には1対1対応が存在する。ここで $\operatorname{C}(F)$ は、$H^3(\operatorname{Spin};\mathbb{Z})$ への固定されたファイバー制限を持つ。
• このような融合的ループスピン構造の存在は、$M$ 上で $\frac{1}{2}p_1 = 0$ であることと同値であり、これは $M$ 上にストリング構造が存在するための条件でもある。
• $\operatorname{U}(1)$-bundle $E\mathcal{L}{\operatorname{Spin}}$ は $\operatorname{Dff}(\mathbb{S})$ に関して不変であり、方向反転成分では符号が $-1$ となるため、融合性が保証される。
• 融合性が成立するのは、ループ反転に関して不変なループ $l$ に対して $E_l \cong E_l^{-1}$ が成り立つためであり、これにより、適合するループに対して $E_{l_{12}} \otimes E_{l_{23}} \simeq E_{l_{13}}$ が成り立つ。
• $F$ 上のバンドルゲーブのディクシエ＝ダウディ類が、融合的ループスピン構造を分類し、レッドンのコホモロジー類の幾何的実現を提供する。
• 本研究は、ワルドールの融合的ループスピン構造とストリング構造の同値性の強化版を実現しており、完全な滑らかさおよび不変性を備え、楕円コホモロジーからの期待に一致する。