[論文レビュー] A new approach for doing theoretical and numeric work with Lemaitre-Tolman-Bondi dust models

Roberto A. Sussman|arXiv (Cornell University)|Jan 6, 2010

Cosmology and Gravitation Theories参考文献 17被引用数 8

ひとこと要約

本稿では、Lemaître-Tolman-Bondi (LTB) ダストモデルに対する新しい共変的・局所的スカラー形式を提案する。標準的な解析解を積分に基づく変数で再解釈することで、単純な数値積分と自然な初期値枠組みを可能にする。この手法により、球対称非一様な力学のゲージ不変的・共変的記述が得られ、解析解と流体の流れの発展方程式が統合され、正則性、曲率、および宇宙論的フィッティング問題に関する新たな知見が得られる。

ABSTRACT

We introduce quasi-local integral scalar variables for the study of spherically symmetric Lemaitre-Tolman-Bondi (LTB) dust models. Besides providing a covariant, and theoretically appealing, interpretation for the parameters of these models, these variables allow us to study their dynamics (in their full generality) by means of fluid flow evolution equations that can be handled with simple numerical techniques and has a significant potential for astrophysical and cosmological applications. These evolution equations can also be understood in the framework of a gauge invariant and covariant formalism of spherical non-linear perturbations on a FLRW background. The covariant time splitting associated with the new variables leads, in a natural way, to rephrase the known analytic solutions within an initial value framework in which covariant scalars are given by simple scaling laws. By using this re-parametrization of the analytic solutions, we re-examine and provide an alternative outlook to various theoretical issues already treated in the literature: regularity conditions, an Omega parameter, as well as the fitting of a given LTB model to radial profiles of density or velocity at different cosmic times. Other theoretical issues and numeric applications will be examined in separate articles.

研究の動機と目的

• 局所的積分スカラーを用いた新しい理論的・数値的枠組みを、球対称 LTB ダストモデルに適用する。
• LTB モデルのパラメータを共変的・ゲージ不変的に解釈することで、理論的明確性と数値的取り扱いやすさを向上させる。
• 既知の解析解を物理量（密度やハッブルパラメータなど）のスケーリング則を伴う初期値形式に再定式化する。
• 非一様ダスト源の数値的発展を簡素化することで、新しい天体物理学的・宇宙論的応用を可能にする。
• LTB 動力学を、FLRW背景上での球対称非線形ゲージ不変的・共変的摂動形式と結びつける。

提案手法

• LTB幾何における任意のスカラーに対して、Misner-Sharp質量に類似した積分的構成により局所的スカラーを定義する。
• これらのスカラーを用いて、既知の解析解を初期データの観点から再パrameter化し、密度、ハッブルパラメータ、曲率、せん断の簡単なスケーリング則を導出する。
• 局所的スカラーの流れ発展方程式を導出し、これらは完全に一般で、容易な数値積分が可能である。
• 局所的スカラー形式と、FLRW背景上での球対称非線形摂動の1+3共変形式との関係を確立する。
• 共動ゲージにおける線形摂動理論と整合性を示すために、線形摂動の発展方程式を一般化する。
• 正則性条件、空間曲率の符号、径方向密度・速度プロファイルへのモデルフィッティングの分析にこの形式を適用する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 LTB ダストモデルに対して、共変的かつ物理的に意味のある方法で局所的積分スカラーを定義する方法は何か？
• RQ2 標準的な解析解が、これらの新しい変数を用いて自然な初期値枠組みに再表現可能か？
• RQ3 正則な双曲的および楕円的 LTB モデルにおいて、局所的空間曲率 $k$ と局所的空間曲率 $k_q$ の関係は何か？
• RQ4 この新しい形式が、宇宙論における非一様ダスト源の数値的発展とモデリングをどのように容易にするか？
• RQ5 局所的スカラー手法が、FLRW背景上での球対称非線形摂動のゲージ不変的・共変的形式と、どの程度統合されるか？

主な発見

• 大爆発（$t_{\rm{bb}}$）および収縮（$t_{\rm{coll}}$）の超曲面上でさえ、局所的スカラー $m_q$、$k_q$、${\cal{H}}_q$ が不適切積分として明確に定義され、すべての時空領域で一貫した動力学的記述が可能である。
• 正則な双曲的モデルでは、$k_q < 0$ ならば $k < 0$ が成り立ち、負の局所的曲率が負の局所的空間曲率に対応することが保証される。
• $E' \leq 0$ を満たす正則な楕円的モデルでは、$k_q > 0$ ならば $k > 0$ だが、$r^*$ で $E'$ がゼロになる場合、$\delta_i^{(k)} < -2/3$ が発生し得る。その場合、$k_q > 0$ であっても $k < 0$ となることがあり、非自明な曲率反転を示す。
• 形式により、解析解が初期データの観点から再パrameter化可能であり、全動力学の明確な初期値形式が得られる。
• 局所的スカラーの発展方程式は数値的に取り扱いやすく、完全に一般であるため、非一様ダスト源の効率的な数値モデリングが可能である。
• この枠組みは、自然に LTB 動力学を 1+3 共変形式の球対称非線形摂動に埋め込み、共動ゲージにおける線形摂動理論と整合性を示す。