[论文解读] A New Framework for Strong Connectivity and 2-Connectivity in Directed Graphs.

Loukas Georgiadis, Giuseppe F. Italiano+1 more|arXiv (Cornell University)|Nov 9, 2015

Distributed systems and fault tolerance参考文献 19被引用 5

一句话总结

本文提出了一种高效的 O(n)-空间数据结构，在 O(m+n) 时间预处理后，能够对有向图中的强连通性和 2-连通性实现最优最坏情况查询。该结构支持在单条边或单个顶点删除后，以 O(n) 总时间报告、计数和计算强连通分量的大小；并能在 O(1) 时间内回答 2-边/顶点连通性查询（存在性检测），在 O(k) 时间内报告 k 条分离边或顶点。

ABSTRACT

In this paper, we investigate some basic problems related to the strong connectivity and to the $2$-connectivity of a directed graph, by considering the effect of edge and vertex deletions on its strongly connected components. Let $G$ be a directed graph with $m$ edges and $n$ vertices. We present a collection of $O(n)$-space data structures that, after $O(m+n)$-time preprocessing can accomplish the following tasks: $(i)$ Report in $O(n)$ worst-case time all the strongly connected components obtained after deleting a single edge (resp., a single vertex) in $G$. $(ii)$ Compute the total number of strongly connected components obtained after deleting a single edge (resp., vertex) in total worst-case $O(n)$ time for all edges (resp., for all vertices). $(iii)$ Compute the size of the largest and of the smallest strongly connected components obtained after deleting a single edge (resp., vertex) in total worst-case $O(n)$ time for all edges (resp., for all vertices). All our bounds are tight. After the same $O(m+n)$-time preprocessing, we can also build an $O(n)$-space data structure that can answer in asymptotically optimal time the following basic $2$-edge and $2$-vertex connectivity queries on directed graphs: $(i)$ Test whether an edge or a vertex separates two query vertices in $O(1)$ worst-case time. $(ii)$ Report all edges or all vertices that separate two query vertices in optimal worst-case time. If there are $k>0$ separating edges (resp., separating vertices), then the time is $O(k)$ in the worst case. If there are no separating edges (resp., separating vertices), then the time is $O(1)$ in the worst case.

研究动机与目标

• 解决在边和顶点删除下，高效维护和查询有向图中强连通性和 2-连通性的挑战。
• 设计支持在单次删除后快速报告、计数和计算强连通分量大小的数据结构。
• 实现 2-边和 2-顶点连通性查询的最优时间性能，包括测试和报告查询点对之间的分离边或顶点。
• 在所有操作中实现紧致的时间和空间界限，确保最坏情况性能的理论最优性。

提出的方法

• 在有向图 G 上进行 O(m+n) 时间的预处理阶段，构建一个 O(n)-空间的数据结构，其中 G 包含 m 条边和 n 个顶点。
• 利用图分解技术编码边和顶点删除下的可达性和强连通性信息。
• 使用基于路径和分量追踪的结构，在 O(n) 总时间内回答单次删除后分量变化的查询。
• 集成可达性预言机和分量标记方案，支持在 O(1) 时间内测试某条边或顶点是否将两个查询顶点分离。
• 设计输出敏感的报告机制，当 k > 0 时在 O(k) 时间内返回所有分离边或顶点，当不存在时在 O(1) 时间内返回。
• 确保所有数据结构空间效率高，并支持最坏情况下的最优查询性能。

实验结果

研究问题

• RQ1 我们能否对有向图进行预处理，以支持在删除单条边或单个顶点后高效报告强连通分量？
• RQ2 是否可能在 O(n) 总时间内计算所有单边或单顶点删除后的强连通分量总数？
• RQ3 是否可能在 O(n) 总时间内计算任意单条边或单个顶点删除后形成的最大和最小分量的大小？
• RQ4 我们能否在最坏情况时间下最优地回答 2-边和 2-顶点连通性查询——包括测试和报告分离边或顶点？

主要发现

• 所提出的数据结构能够在 O(n) 最坏情况时间内报告单条边或顶点删除后的所有强连通分量。
• 在所有单边或单顶点删除后，强连通分量的总数可在 O(n) 最坏情况时间内计算完成。
• 在所有边或顶点的单次删除后，形成的最大和最小分量的大小均可在 O(n) 最坏情况时间内计算完成。
• 该数据结构支持在 O(1) 时间内测试有向图中某条边或顶点是否将两个查询顶点分离。
• 当 k > 0 时，所有分离边或顶点可在 O(k) 最坏情况时间内报告；当不存在时，可在 O(1) 时间内返回。
• 所有时间和空间界限均为紧致，实现了所考虑问题在最坏情况性能下的理论最优性。