[论文解读] A New Upper Bound on 2D Online Bin Packing

Xin Han, Francis Y. L. Chin+2 more|ArXiv.org|Jun 2, 2009

Optimization and Packing Problems参考文献 18被引用 4

一句话总结

本文提出一种新型二维在线装箱算法，将 $H\otimes B$ 框架中的改进调和算法替换为超调和算法，引入了新颖的加权函数与广义分析框架。主要贡献是将渐近竞争比上界提升至 2.5545，优于先前最优的 2.66013。

ABSTRACT

The 2D Online Bin Packing is a fundamental problem in Computer Science and the determination of its asymptotic competitive ratio has attracted great research attention. In a long series of papers, the lower bound of this ratio has been improved from 1.808, 1.856 to 1.907 and its upper bound reduced from 3.25, 3.0625, 2.8596, 2.7834 to 2.66013. In this paper, we rewrite the upper bound record to 2.5545. Our idea for the improvement is as follows. In SODA 2002 \cite{SS03}, Seiden and van Stee proposed an elegant algorithm called $H \otimes B$, comprised of the {\em Harmonic algorithm} $H$ and the {\em Improved Harmonic algorithm} $B$, for the two-dimensional online bin packing problem and proved that the algorithm has an asymptotic competitive ratio of at most 2.66013. Since the best known online algorithm for one-dimensional bin packing is the {\em Super Harmonic algorithm} \cite{S02}, a natural question to ask is: could a better upper bound be achieved by using the Super Harmonic algorithm instead of the Improved Harmonic algorithm? However, as mentioned in \cite{SS03}, the previous analysis framework does not work. In this paper, we give a positive answer for the above question. A new upper bound of 2.5545 is obtained for 2-dimensional online bin packing. The main idea is to develop new weighting functions for the Super Harmonic algorithm and propose new techniques to bound the total weight in a rectangular bin.

研究动机与目标

• 缩小二维在线装箱问题已知最优上界与下界之间的差距。
• 克服先前分析框架在应用于超调和算法时的局限性。
• 为超调和算法设计更简单且更有效的新型加权函数。
• 将分析框架广义化，以适用于二维及多维在线装箱问题。
• 在渐近竞争比上界方面，超越先前最先进的 2.66013。

提出的方法

• 为一维超调和算法引入新型、简化的加权函数，取代 Seiden (2002) 的复杂函数。
• 设计适用于二维在线装箱问题的广义分析框架，通过独立成对分析来界定单个装箱中的总权重。
• 构建带有新约束的混合整数规划（MIP）模型，用于计算每对物品类型在单个装箱中的最大权重上界。
• 利用 GLPK 求解器计算 MIP 的最优值，结合新型加权函数与分析框架。
• 将该框架应用于 $H\otimes B$ 算法，以超调和算法替代改进调和算法。
• 通过验证表明，先前方法在新函数下失效，而新方法可实现更紧的上界。

实验结果

研究问题

• RQ1 超调和算法能否成功集成至 $H\otimes B$ 框架中，以改进竞争比？
• RQ2 能否设计一种能有效适配超调和算法加权函数的新分析框架？
• RQ3 使用新方法时，二维在线装箱问题渐近竞争比的最紧上界是多少？
• RQ4 为何先前的分析技术在此情境下应用于超调和算法时会失效？
• RQ5 新框架能否扩展至更高维度的装箱问题？

主要发现

• 新算法的渐近竞争比上界不超过 2.5545，优于先前最优上界 2.66013。
• 新设计的超调和算法加权函数相较于 Seiden (2002) 的方法显著简化，同时保持或提升性能。
• 广义分析框架通过独立成对分析成功界定了单个装箱中的总权重，从而实现更精确的竞争比估计。
• 当在新框架中使用 Seiden (2002) 的旧加权函数时，竞争比仍高于 2.79，证明了新函数的必要性。
• 新框架可扩展至三维装箱问题，对 $H\times H\otimes SH+$ 的估计竞争比约为 4.3198。
• 新约束下的 MIP 公式在保持可行性的同时，通过 GLPK 的计算实验验证了其可实现更紧的上界。