[論文レビュー] A Non-commutative Version of the Fundamental Theorem of Asset Pricing

Zeqian Chen|ArXiv.org|Dec 26, 2001

Stochastic processes and financial applications参考文献 22被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、量子確率空間における非可換な類似物としての資産価格理論の基本定理を確立し、リスクがゼロに近づく自由な利ざや（no free lunch with vanishing risk）が存在しないことは、フォン・ノイマン代数の枠組みにおける資産価格過程のマルティンゲール状態の存在と同値であることを証明している。主な貢献は、固定された状態に関する条件付き期待値に基づいて定義される状態に基づくマルティンゲールを用いた、非可換な同等マルティンゲール測度条件の導出であり、古典的資産価格理論を量子金融モデルへと拡張している。

ABSTRACT

In this note, a non-commutative analogue of the fundamental theorem of asset pricing in mathematical finance is proved.

研究の動機と目的

• 古典的な資産価格理論の基本定理を非可換（量子）確率空間へと拡張すること。
• フォン・ノイマン代数の枠組みにおいて、量子アービテージおよび量子取引戦略の概念を形式化すること。
• 非可換な状況下で、非アービテージが成立するための同等マルティンゲール測度条件の非可換版を確立すること。
• トレース状態に依存しない固定状態を用いて、非可換設定におけるマルティンゲールの概念を一般化すること。
• リスクがゼロに近づく自由な利ざやが存在しないことは、資産価格過程に対してマルティンゲール状態が存在することを示すこと。

提案手法

• 有限なフォン・ノイマン代数 A と忠実で正規なトレース状態 τ を用いて、非可換確率空間を形式化する。
• 情報の流れを表す、A の単位的弱閉 *-部分代数のフィルトレーション (A_t) を導入する。
• 固定状態 σ に関する非可換マルティンゲールを、(A_t) に適合する族 {M_t} として定義し、任意の a ∈ A_s および s ≤ t に対して σ(aM_t a*) = σ(aM_s a*) を満たすものとする。
• Yan (1980) のエクhaustion 論法を用いて、A 上の正線形汎関数の最大な補集合を構成する。
• 補題 2 を適用し、正規化された汎関数 τ_{b_0} が価格過程 X に対してマルティンゲール状態であることを示す。
• 背理法により主定理を証明する：もしこのようなマルティンゲール状態が存在しないならば、リスクがゼロに近づく自由な利ざやを構成可能である。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 量子金融市場におけるアービテージの不在が、フォン・ノイマン代数における資産価格のマルティンゲール状態の存在と対応する条件は何か？
• RQ2 トレース状態に依存しない非可換確率空間において、古典的同等マルティンゲール測度の概念をどのように一般化できるか？
• RQ3 リスクがゼロに近づく自由な利ざやの概念は、非可換設定における状態に基づくマルティンゲール条件としてどのように特徴づけられるか？
• RQ4 線形汎関数の補集合が、非可換資産価格理論におけるマルティンゲール状態の構成に果たす役割は何か？
• RQ5 トレース状態ではなく固定状態 σ を用いることで、非可換マルティンゲールの定義と性質はどのように変化するか？

主な発見

• アービテージの不在（リスクがゼロに近づく自由な利ざやなし）は、資産価格過程 X に対してマルティンゲール状態が存在することと同値である。
• 非可換マルティンゲールは、任意の a ∈ A_s および s ≤ t に対して σ(aM_t a*) = σ(aM_s a*) を満たす条件により定義され、古典的定義を一般化している。
• 汎関数 τ_{b_0} の最大補集合 s(τ_{b_0}) = 1 であることは、τ_{b_0} が忠実な状態であることを示唆する。
• 正規化された汎関数 τ_{b_0} が X に対してマルティンゲール状態であることが示され、非可換設定における同等マルティンゲール測度の存在が証明された。
• 正線形汎関数の補集合のラティス上のエクhaustion 論法に依拠することで、最大元の存在が保証されている。
• 結果として、古典的資産価格理論の基本定理が非可換確率空間へと一般化され、量子金融モデルの基盤が提供された。