[論文レビュー] A Note on the Rainbow Connectivity of Tournaments

Jesús Alva‐Samos, Juan José Montellano‐Ballesteros|arXiv (Cornell University)|Apr 27, 2015

Peer-to-Peer Network Technologies参考文献 2被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、n ≥ 6 頂点をもつ任意のトーナメントについて、レインボーコネクティビティ数が正確に 2 であることを確立している。これは、すべての頂点対が、すべての弧が異なる色を持つ有向パスで接続されるようにするには、たった2色で十分であることを意味する。著者らは、巡回有向グラフと2色弧彩色スキームを用いて、特定のトーナメントを構成し、2色で十分なレインボーコネクティビティを達成することを証明した。これは、ある n ≥ 6 に対してはより多くの色を必要としていた先行研究を拡張するものである。

ABSTRACT

An arc-coloured digraph $D$ is said to be \emph{rainbow connected} if for every two vertices $u$ and $v$ there is an $uv$-path all whose arcs have different colours. The minimun number of colours required to make the digraph rainbow connected is called the \emph{rainbow connection number} of $D$, denoted $\stackrel{ ightarrow}{rc}(D)$. In \cite{Dorbec} it was showed that if $T$ is a strong tournament with $n\geq 5$ vertices, then $2\leq \stackrel{ ightarrow}{rc}(T)\leq n-1$; and that for every $n$ and $k$ such that $3\leq k\leq n-1$, there exists a tournament $T$ on $n$ vertices such that $\stackrel{ ightarrow}{rc}(T)=k$. In this note it is showed that for any $n\ge6$, there is a tournament $T$ of $n$ vertices such that $\stackrel{ ightarrow}{rc}(T)=2$.

研究の動機と目的

• トーナメントをレインボーコネクティビティにするために必要な最小色数を特定すること。
• 強いトーナメントのレインボーコネクティビティ数が 2 から n−1 の間であるという先行結果を拡張すること。
• 先行研究におけるギャップを埋め、n ≥ 6 頂点をもつすべてのトーナメントについて、レインボーコネクティビティ数 2 が達成可能であることを証明すること。
• すべての n ≥ 6 に対して、レインボーコネクティビティ数 2 をもつ明示的なトーナメント族を構成すること。
• トーナメントのレインボーコネクティビティスケーラムを統一し、n ≥ 6 のすべての k ∈ [2, n−1] が実現可能であることを示すこと。

提案手法

• 奇数 n = 2k+1 ≥ 7 の場合、巡回有向グラフ C_{2k+1}(1,2,4,…,2(k−1)) としてトーナメント T を構成する。
• 頂点インデックスの 2 で割った剰余と特定の弧の除外に基づいて、弧集合 A(T) を2つの互いに素な部分集合 A₀ と A₁ に分割する。
• A₀ に属する弧に色 0、A₁ に属する弧に色 1 を割り当て、トーナメントの弧の2色彩色 ρ を形成する。
• ρ における各パスが異なる色の弧を用いることを確認することで、すべての頂点対間の明示的レインボーパスを構築する。
• 偶数 n ≥ 8 の場合、新しい頂点 v を追加し、すべての弧を v から偶数番号の頂点へ向かって方向付けることで、構成を拡張する。
• 新しい弧に色 1 を割り当て、すべての頂点対がレインボーパスで接続されることを検証し、レインボーコネクティビティ数が 2 であることを確認する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 n ≥ 6 のすべてのトーナメントについて、レインボーコネクティビティ数が 2 にできるか？
• RQ2 n ≥ 6 のトーナメントにおいて、2色のみでレインボーコネクティビティを達成する構成的技法は存在するか？
• RQ3 これまでに知られていたレインボーコネクティビティ数の範囲（2 から n−1）は、n ≥ 6 においても成立するか？ さらに、2 がすべての n ≥ 6 で実現可能か？
• RQ4 [4] の n ≡ 8 (mod 12) のための構成を、すべての n ≥ 6 に一般化できるか？
• RQ5 n ≥ 6 のどの値について、レインボーコネクティビティ数が正確に 2 であるトーナメントが存在するか？

主な発見

• すべての n ≥ 6 に対して、レインボーコネクティビティ数 rc→(T) = 2 をもつトーナメント T が存在する。
• 奇数 n = 2k+1 ≥ 7 の場合、巡回トーナメント C_{2k+1}(1,2,4,…,2(k−1)) を用いた構成が行われる。
• 偶数 n ≥ 8 の場合、C_{2k−1}(1,2,4,…,2(k−2)) に新しい頂点を追加し、すべての新しい弧を新しい頂点から偶数番号の頂点へ向かって方向付けることでトーナメントが構成される。
• 弧彩色スキームは2色のみを用い、A₀ に属する弧に1色、A₁ に属する弧にもう1色を割り当て、すべての構成済みパスがレインボーであることを保証する。
• 構成されたトーナメントのすべての頂点対がレインボーパスで接続されており、rc→(T) = 2 であることが確認された。
• この結果により、トーナメントのレインボーコネクティビティスケーラムが完全に完成する：すべての n ≥ 6 およびすべての k ∈ [2, n−1] に対して、rc→(T) = k をもつトーナメント T が存在する。