[論文レビュー] A pathwise approach to continuous-time trading

Candia Riga|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2016

Stochastic processes and financial applications参考文献 1被引用数 7

ひとこと要約

この論文は、確率積分を非予測的関数的積分に置き換えることで、連続時間取引の経路に依存する、モデルフリーな枠組みを導入する。これにより、利益およびヘッジエラーを、確率的仮定を一切用いずに、経路ごとの定義が可能になる。主な貢献は、経路に依存する自己財務的条件の導出と、確率的仮定なしに任意の価格経路に対してヘッジエラーを明示的に定量化するデルタヘッジ複製の一般化である。

ABSTRACT

This paper develops a mathematical framework for the analysis of continuous-time trading strategies which, in contrast to the classical setting of continuous-time mathematical finance, does not rely on stochastic integrals or other probabilistic notions. Our purely analytic framework allows for the derivation of a pathwise self-financial condition for continuous-time trading strategies, which is consistent with the classical definition in case a probability model is introduced. Our first proposition provides us with a pathwise definition of the gain process for a large class of continuous-time, path-dependent, self-finacing trading strategies, including the important class of 'delta-hedging' strategies, and is based on the recently developed 'non-anticipative functional calculus'. Two versions of the statement involve respectively continuous and càdlàg price paths. The second proposition is a pathwise replication result that generalizes the ones obtained in the classical framework of diffusion models. Moreover, it gives an explicit and purely pathwise formula for the hedging error of delta-hedging strategies for path-dependent derivatives across a given set of scenarios. We also provide an economic justification of our main assumption on price paths.

研究の動機と目的

• 確率測度に依存しない、連続時間取引のモデルフリーな数学的枠組みを構築すること。
• 自己財務的で経路に依存する取引戦略（デルタヘッジを含む）の利益過程を経路に依存する定義を提供すること。
• 古典的な複製結果を一般化し、デルタヘッジ戦略のヘッジエラーを、特定の確率モデルに依存しない、明示的かつ完全に経路に依存する式で導出すること。
• 市場効率性とアービタージュの不在に基づく経済的議論を通じて、価格経路に関する核心的仮定を正当化すること。
• 確率測度が導入された場合に、経路に依存する解析と古典的確率積分フレームワークとの一貫性を示すこと。

提案手法

• DupireおよびCont-Fourniéの非予測的関数的積分を用いて、価格経路の関数的量の積分を定義する。
• Föllmerの経路に依存するイトの公式とNorvaišaの左カウチィ λ-積分を用いて、非予測的リーマン和の極限として利益を定義する。
• 経路に依存する二次変動とジャンプ補正を含む、変数変換の公式を通じて利益過程を定義する。
• Vovkの上位価格および典型経路の概念を用いて、価格経路の正則性条件を経済的に意味のあるものとして正当化する。
• 期待値を用いずに、すべての標本経路において一貫性を持つように、利益過程を要件とする経路に依存する自己財務的条件を導出する。
• 稠密でネストされ、全被覆的な分割列に対して、経路に依存する二次変動と古典的二次変動が等価であることを確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 確率積分や確率測度に依存せずに、連続時間取引の利益をどのように定義できるか？
• RQ2 戦略が自己財務的であるための経路に依存する条件は何か？ そして、古典的な確率的定義とどのように関係するか？
• RQ3 特定の確率モデルに依存しない、すべての価格経路に対して有効な、デルタヘッジにおけるヘッジエラーの一般式を導出できるか？
• RQ4 価格経路が有限な経路に依存する二次変動を持つという仮定を、経済的または市場的根拠でどのように正当化できるか？
• RQ5 この枠組みにおける経路に依存する結果は、拡散型モデルにおける古典的結果とどのように関係するか？

主な発見

• 確率測度が導入された場合に、古典的定義と一貫する経路に依存する自己財務的条件が導出された。
• 非予測的関数的積分を用いて、デルタヘッジを含む、広範な経路に依存する自己財務的戦略の経路に依存する利益過程が定義された。
• デルタヘッジ戦略のヘッジエラーを、実現された価格経路とその二次変動のみに依存する明示的で経路に依存する式が導出された。
• ゲーム理論的でモデルフリーな設定において、アービタージュの不在と関連づけることで、有限な経路に依存する二次変動の仮定が正当化された。
• 稠密でネストされ、全被覆的な分割列に対して、経路に依存する二次変動はFöllmerおよびNorvaišaの定義と一致し、既存の経路に依存する微積分と一貫性を持つことが保証された。
• 古典的な複製結果を一般化し、任意の連続的または右連続左極限をもつ（càdlàg）価格経路に対して有効な、経路に依存するモデルフリーなデルタヘッジエラーの公式が提供された。