[论文解读] A Pointwise Characterisation of the PDE System of Vectorial Calculus of Variations in $L^\infty$

Birzhan Ayanbayev, Nikos Katzourakis|arXiv (Cornell University)|Nov 18, 2016

Mathematical and Theoretical Analysis参考文献 13被引用 6

一句话总结

该论文通过证明广义解（通过新颖的 $\chi$-解框架定义）在仿射变分下恰好是本质上确界泛函 $\mathrm{E}_\infty(u,\mathcal{O}) = \mathrm{ess}\,\sup_{\mathcal{O}} \mathrm{H}(\cdot,u,\mathrm{D}u)$ 的局部极小化子，建立了 $L^\infty$ 变分法中向量值问题所导出的 PDE 系统的逐点刻画。关键贡献在于通过涉及哈密顿量关于梯度变量的梯度的核上投影的全非线性 PDE 系统，对 $L^\infty$ 欧拉-拉格朗日系统进行了变分刻画。

ABSTRACT

Let $n,N\in \mathbb{N}$ with $Ω\subseteq \mathbb{R}^n$ open. Given $H \in C^2(Ω imes \mathbb{R}^N imes \mathbb{R}^{Nn}),$ we consider the functional \[ ag{1} \label{1} E_\infty (u,\mathcal{O})\, :=\, \underset{\mathcal{O}}{\mathrm{ess}\,\sup}\, H (\cdot,u,\mathrm{D} u) ,\ \ \ u\in W^{1,\infty}_ ext{loc}(Ω,\mathbb{R}^N),\ \ \ \mathcal{O} \Subset Ω. \] The associated PDE system which plays the role of Euler-Lagrange equations in $L^\infty$ is \[ \label{2} ag{2} \left\{ \begin{array}{r} H_{P}(\cdot, u, \mathrm{D}u)\, \mathrm{D} \big(H(\cdot, u, \mathrm{D} u)\big) \, = \, 0, \ \ \ H(\cdot, u, \mathrm{D} u) \, [\![H_{P}(\cdot, u, \mathrm{D} u)]\!]^\bot \Big(\mathrm{Div}\big(H_{P}(\cdot, u, \mathrm{D} u)\big)- H_η(\cdot, u, \mathrm{D} u)\Big)\, =\, 0, \end{array} ight. \] where $[\![A]\!]^\bot := \mathrm{Proj}_{R(A)^\bot}$. Herein we establish that generalised solutions to \eqref{2} can be characterised as local minimisers of \eqref{1} for appropriate classes of affine variations of the energy. Generalised solutions to \eqref{2} are understood as $\mathcal{D}$-solutions, a general framework recently introduced by one of the authors.

研究动机与目标

• 为向量值泛函的 $L^\infty$ 欧拉-拉格朗日 PDE 系统提供变分刻画。
• 建立 $\mathcal{D}$-解框架中的广义解为 $\mathrm{E}_\infty$ 的局部极小化子。
• 通过涉及投影与散度项的全非线性系统，逐点刻画 $L^\infty$ PDE 系统。
• 通过广义解与 Young 测度，将 $L^\infty$ 变分法理论扩展至向量值映射。

提出的方法

• 引入 $\mathcal{D}$-解框架作为 $L^\infty$ PDE 的广义解概念。
• 将本质上确界泛函 $\mathrm{E}_\infty(u,\mathcal{O}) = \mathrm{ess}\,\sup_{\mathcal{O}} \mathrm{H}(\cdot,u,\mathrm{D}u)$ 作为能量泛函。
• 通过特定类 $\mathcal{A}^{\parallel,\infty}_{\mathcal{O}}(u)$ 与 $\mathcal{A}^{\bot,\infty}_{\mathcal{O}}(u)$ 中的仿射变分 $u \mapsto u + A$ 来检验极小性。
• 利用扰动能的下 Dini 导数 $\underline{\mathrm{D}}r(0^+)$ 推导必要条件。
• 推导出 PDE 系统：$\mathrm{H}_P \mathrm{D}(\mathrm{H}) = 0$ 与 $\mathrm{H} \cdot [\![\mathrm{H}_P]\!]^\perp \left( \mathrm{Div}(\mathrm{H}_P) - \mathrm{H}_\eta \right) = 0$。
• 利用 Young 测度与弥散 Hessian 处理由 $W^{1,\infty}$ 映射缺乏二阶导数的问题。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于向量值问题，能够捕捉 $L^\infty$ 泛函极小化性质的正确广义解概念是什么？
• RQ2 如何对向量值映射的 $L^\infty$ 欧拉-拉格朗日 PDE 系统进行逐点刻画？
• RQ3 在何种条件下，$\mathcal{D}$-解是 $\mathrm{E}_\infty$ 的局部极小化子？
• RQ4 能否通过能量泛函的仿射变分刻画 $L^\infty$ PDE 系统？
• RQ5 投影算子 $[\![\mathrm{H}_P]\!]^\perp$ 与散度项在变分结构中如何相互作用？

主要发现

• 在 $\mathcal{A}^{\parallel,\infty}_{\mathcal{O}}(u)$ 与 $\mathcal{A}^{\bot,\infty}_{\mathcal{O}}(u)$ 中的仿射变分下，$\mathcal{D}$-解框架中的广义解恰好是 $\mathrm{E}_\infty$ 的局部极小化子。
• PDE 系统 $\mathrm{H}_P \mathrm{D}(\mathrm{H}) = 0$ 与 $\mathrm{H} \cdot [\![\mathrm{H}_P]\!]^\perp (\mathrm{Div}(\mathrm{H}_P) - \mathrm{H}_\eta) = 0$ 刻画了 $\mathcal{D}$-解作为 $\mathrm{E}_\infty$ 的极小化子。
• 对于 $C^2$ 映射，$\mathcal{D}$-解条件退化为经典 PDE 系统，其中 $A^T \mathrm{H}_P$ 的散度为零。
• 对于所有容许的仿射变分，下 Dini 导数 $\underline{\mathrm{D}}r(0^+)$ 非负，从而保证 $\mathrm{E}_\infty(u) \leq \mathrm{E}_\infty(u+A)$。
• 投影 $[\![\mathrm{H}_P]\!]^\perp$ 确保第二个方程正交于 $\mathrm{H}_P$ 的值域，从而捕捉正确的几何结构。
• 通过 Young 测度与弥散 Hessian，该理论可推广至非光滑映射，为 $L^\infty$ 问题提供了稳健的变分框架。