[論文レビュー] A Quadratic Assignment Formulation of the Graph Edit Distance

Sébastien Bougleux, Luc Brun+4 more|arXiv (Cornell University)|Dec 23, 2015

Graph Theory and Algorithms参考文献 32被引用数 10

ひとこと要約

本稿では、ノードの置換、削除、挿入を符号化するϵ-割り当て行列を導入することで、グラフ編集距離（GED）を二次割り当て問題（QAP）として定式化する。主な貢献は、ϵ-割り当て行列の同値類と、ソースノードの部分集合からターゲットノードへの単射写像との間の一対一対応を確立することであり、これによりQAP最適化を用いた正確なGED計算が可能になる。

ABSTRACT

Computing efficiently a robust measure of similarity or dissimilarity between graphs is a major challenge in Pattern Recognition. The Graph Edit Distance (GED) is a flexible measure of dissimilarity between graphs which arises in error-tolerant graph matching. It is defined from an optimal sequence of edit operations (edit path) transforming one graph into an other. Unfortunately, the exact computation of this measure is NP-hard. In the last decade, several approaches have been proposed to approximate the GED in polynomial time, mainly by solving linear programming problems. Among them, the bipartite GED has received much attention. It is deduced from a linear sum assignment of the nodes of the two graphs, which can be efficiently computed by Hungarian-type algorithms. However, edit operations on nodes and edges are not handled simultaneously, which limits the accuracy of the approximation. To overcome this limitation, we propose to extend the linear assignment model to a quadratic one, for directed or undirected graphs having labelized nodes and edges. This is realized through the definition of a family of edit paths induced by assignments between nodes. We formally show that the GED, restricted to the paths in this family, is equivalent to a quadratic assignment problem. Since this problem is NP-hard, we propose to compute an approximate solution by an adaptation of the Integer Projected Fixed Point method. Experiments show that the proposed approach is generally able to reach a more accurate approximation of the optimal GED than the bipartite GED, with a computational cost that is still affordable for graphs of non trivial sizes.

研究の動機と目的

• グラフ編集距離を二次割り当てプログラミングを用いて形式的な数学的定式化を提供すること。
• グラフ上のすべての編集操作（置換、削除、挿入）を符号化する新しい行列クラス—ϵ-割り当て行列—を定義すること。
• ϵ-割り当て行列の同値類と、ソースノードの部分集合からターゲットノードへの単射関数との間の一対一対応を確立すること。
• 明確な組合せ最適化フレームワークを用いて、正確なグラフ編集距離の計算を可能にすること。

提案手法

• X_sub（置換）、X_rem（削除）、X_ins（挿入）、X_ϵ（置換制約の補助）の4つのブロック行列から構成される(n+m)×(m+n)のϵ-割り当て行列を導入する。
• X_remとX_insが対角行列であることを制約として課し、同時に1つのノードしか削除または挿入されないことを保証する。
• 置換、削除、挿入ブロックが等しいことを基に、ϵ-割り当て行列に同値関係を定義する。
• 全行列Xが置換行列であることを保証するため、補助行列X_ϵを用いる。
• ϵ-割り当て行列の同値類と、ソースノードの部分集合からターゲットノードへの単射関数との間の全単射写像を確立する。
• 置換行列の構造を活用して、有効な編集シーケンスを単射マッピングとしてモデル化し、正確なQAPベースのGED計算を可能にする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 グラフ編集距離を二次割り当て問題として形式的に表現する方法は何か？
• RQ2 すべての可能な編集操作（置換、削除、挿入）を符号化しつつ、有効性を保つために必要な行列構造は何か？
• RQ3 有効な編集パスとノード集合間の単射マッピングの間に一対一対応は存在するか？
• RQ4 ϵ-割り当て行列の同値性をどのように定義すれば、探索空間の冗長性を低減できるか？
• RQ5 GEDのQAP定式化は、編集パスと明確な対応関係を持つ、well-definedな組合せ構造に基づくものとできるか？

主な発見

• すべてのϵ-割り当て行列の集合An,mは、置換行列制約と特定のブロック構造を満たす(m+n)×(m+n)行列として定義される。
• An,m上の同値関係∼は、置換、削除、挿入ブロックが同一である行列を特定し、集合An,m∼を形成する。
• An,m∼と、集合X={1,…,n}の部分集合からY={1,…,m}への単射関数の集合の間に一対一対応が存在する。
• 置換行列制約のおかげで、写像φ_Xは単射であるため、2つのソースノードが同じターゲットノードにマッピングされることはない。
• この定式化により、すべての有効な編集パスが単射関数表現を通じてカバーされる。
• QAP定式化は、正確なグラフ編集距離計算のための厳密な代数的フレームワークを提供する。