[論文レビュー] A Re-examination of the isometric embedding approach to General Relativity

Steven Willison|arXiv (Cornell University)|Nov 25, 2013

Cosmology and Gravitation Theories参考文献 2被引用数 7

ひとこと要約

この論文は、一般相対性理論における等長埋め込みアプローチを再検討し、アインシュタイン方程式を高次元ミンコフスキー空間で定式化する。13+1次元の枠組みを用いて、コーシー問題の問題点と内在的GRとの非同値性に対処する。解析的初期データに対して、コーシー＝コワレフスカヤの定理を用いて局所的解の存在と一意性を確立し、非コンパクトで漸近的に平坦なデータに対して重み付きソボレフ空間における摂動法を提案。適切な修正が施されれば、グローバル解の存在が可能であると示唆する。

ABSTRACT

We consider gravitational field equations which are Einstein equations written in terms of embedding coordinates in some higher dimensional Minkowski space. Our main focus is to address some tricky issues relating to the Cauchy problem and possible non-equivalence with the intrinsic Einstein theory. The well known theory introduced by Regge and Teitelboim in 9+1 dimensions is cast in Cauchy-Kowalevskaya form and therefore local existence and uniqueness results follow for \emph{analytic} initial data. In seeking a weakening of the regularity conditions for initial data, we are led naturally to propose a 13+1 dimensional theory. By imposing an appropriate conserved initial value constraint we are able, in the neighbourhood of a generic (free) embedding, to obtain a system of nonlinear hyperbolic differential equations. The questions of long time or global existence and uniqueness are formidable, but we offer arguments to suggest that the situation is not hopeless if the theory is modified in an appropriate way. We also present a modification of the perturbation method of Günther to weighted Sobolev spaces, appropriate to noncompact initial data surfaces with asymptotic fall-off conditions.

研究の動機と目的

• 一般相対性理論における等長埋め込み定式化の基礎的問題、特にコーシー問題と標準アインシュタイン重力との非同値性に関する課題を解決すること。
• 9+1次元フレームワークにおいて、コーシー＝コワレフスカヤの定理を用いて解析的初期データに対する局所的解の存在と一意性を確立すること。
• 13+1次元理論を提案することで、初期データの正則性仮定を緩和し、非コンパクトで漸近的に平坦な時空の取り扱いを可能にすること。
• 非コンパクトな初期データ面に適用可能な重み付きソボレフ空間に適応した修正された摂動法を開発すること。
• 理論が適切に修正されれば、長時間的またはグローバル解の存在がまったく希望がないわけではないと主張すること。

提案手法

• 物理的時空計量 $g_{\mu\nu}$ と一致する誘導計量を持つように、高次元ミンコフスキー空間 $\mathbb{E}^{N-1,1}$ 内の埋め込み座標 $X^A(\tau)$ を用いてアインシュタイン方程式を定式化する。
• レッジ＝タイベルボイムの9+1次元定式化にコーシー＝コワレフスカヤの定理を適用し、解析的初期データに対して局所的解の存在と一意性を保証する。
• 非コンパクトな初期データに漸近的減衰を伴うように、正則性条件を緩和するための13+1次元理論を提案する。
• 一般の（自由な）埋め込みの近傍で、保存された初期値制約を課し、非線形双曲型微分方程式系を導出する。
• グンターの摂動法を重み付きソボレフ空間 $H_{s,\delta}$ に適応し、空間無限遠での減衰を保証する。
• ラプラシアンの連続乗法および逆数定理に依存して、重み付きソボレフ空間における収縮写像の議論により、小さな摂動のもとで解の存在を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一般相対性理論における等長埋め込みアプローチは、適切に定式化されたコーシー問題として、適切に定義された局所的解を有するか？
• RQ2 初期データの正則性仮定を緩和する際、特に過剰に制約をかけるのを避けるために必要な最小埋め込み次元は何か？
• RQ3 漸近的減衰条件を伴う非コンパクトな初期データ面に対して、摂動法をどのように適応できるか？
• RQ4 埋め込みアプローチから導かれる双曲型方程式系は、どのような条件下でグローバルな存在と一意性を有するか？
• RQ5 埋め込み的・内在的GR定式化の間の非同値性は根本的障害であるか、それとも理論を適切に修正することで解消可能か？

主な発見

• コーシー＝コワレフスカヤの定理を用いて、9+1次元レッジ＝タイベルボイムフレームワークにおいて、解析的初期データに対して一般相対性理論の等長埋め込み定式化の局所的解の存在と一意性が確立された。
• 非コンパクトな初期データに漸近的減衰を伴うように、正則性条件を解析的を超えて緩和できる13+1次元理論が提案された。
• 埋め込みアプローチから導かれる方程式系は、一般の（自由な）埋め込みの近傍で非線形双曲型微分方程式系を形成し、適切な制約のもとで局所的適切性が保証された。
• 非コンパクトな初期データに空間無限遠での減衰を伴う重み付きソボレフ空間 $H_{s,\delta}$ における修正された摂動法が開発され、その解析が可能となった。
• 重み付きソボレフ空間における収縮写像の議論により、$\|M^{-1}H\|_{p,\alpha}(|K| + \|L\|_{q,\beta})$ のノルムが十分に小さければ、小さな摂動のもとで解の存在が確認された。
• 結果として、理論が適切に修正されれば、長時間的またはグローバル解の存在はまったく希望がないわけではないと示唆され、重力の有効な埋め込み定式化への道筋が示された。