[論文レビュー] A solution of Deligne's conjecture

James E. McClure, Jeffrey H. Smith|ArXiv.org|Oct 24, 1999

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 18被引用数 31

ひとこと要約

この論文は、デリーニの予想に対する解決策を提示する。具体的には、アソシエイティブ環の正規化ホッホシュライブコホホモロジー複体に、デススペンション後の小2立方体オペラッドの特異的鎖複体の作用を構成する。主な結果は、小2立方体オペラッドの特異的鎖複体と、ホッホシュライブコホホモロジー複体の自己準同型オペラッドにおけるカップ積、単位、および高次ブレイス作用素によって生成される部分オペラッドとの間の準同型写像の構成である。

ABSTRACT

Deligne asked in 1993 whether the Hochschild cochain complex of an associative ring has a natural action by the singular chains of the little 2-cubes operad. In this paper we give an affirmative answer to this question. We also show that the topological Hochschild cohomology spectrum of an associative ring spectrum has an action of an operad equivalent to the little 2-cubes.

研究の動機と目的

• 1993年にデリーニが提起した、アソシエイティブ環のホッホシュライブコホホモロジー複体に、小2立方体オペラッドの特異的鎖複体の作用の存在に関する予想を解決すること。
• アソシエイティブ環スペクトラムのトポロジカルホッホシュライブコホホモロジースペクトラムが、小2立方体オペラッドに quasi-isomorphic なオペラッドによって作用することを示すこと。
• 小2立方体オペラッドの特異的鎖複体と、デススペンションされた正規化ホッホシュライブコホホモロジー複体関手の自己準同型オペラッドにおけるカップ積、単位、および高次ブレイス作用素によって生成される部分オペラッドとの間の明示的な quasi-isomorphism を構成すること。
• この構成を任意の特性における微分付き代数およびアソシエイティブ環スペクトラムへと拡張すること、特に特性ゼロに限らないこと。

提案手法

• 正規化ホッホシュライブコホホモロジー複体 $\bar{C}^*(R)$ 及びそのデススペンション $\Sigma^{-1}\bar{C}^*(R)$ を定義し、符号の規約を正しく扱う。
• 関手 $\Sigma^{-1}\bar{C}^*$ の自己準同型オペラッド $\mathcal{O}$ を構成し、その成分 $\mathcal{O}(n)$ を $ (\Sigma^{-1}\bar{C}^*)^{igotimes n} \to \Sigma^{-1}\bar{C}^* $ の自然変換からなるものとし、次数シフトによって次数づける。
• オペラッド $\mathcal{O}$ 内の重要な作用素を特定する：カップ積 $\smallsmile \in \mathcal{O}(2)$、単位 $e \in \mathcal{O}(0)$、および $n \geq 2$ に対して $\{\}_n \in \mathcal{O}(n)$ である高次ブレイス作用素。これらは繰り返しの挿入と符号補正を用いて定義される。
• $e$、$\smallsmile$、および $\{\}_n$ によって生成される部分オペラッド $\mathcal{H} \subset \mathcal{O}$ を定義し、$\mathcal{H}$ が小2立方体オペラッドの関係を quasi-isomorphism に関して満たすことを証明する。
• 偏順序と全順序の組み合わせ論的構造から生じるポセット複体 $I_n(t,p)$ の可縮性を示すために、組合せ論的議論を用い、帰納法と部分複体 $A$、$B$、$C$ への分解を用いて、オペラッド $\mathcal{H}$ が小2立方体オペラッドの特異的鎖複体 $\mathcal{C}_2$ と quasi-isomorphic であることを証明する。
• 作用素間の関係、例えば $\smallsmile$ の結合則、単位性、およびブレイス積が $\smallsmile$ と整合することといった関係が、オペラッド構造に埋め込まれており、準同型写像のもとでも保存されることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 アソシエイティブ環のホッホシュライブコホホモロジー複体は、1993年にデリーニが予想したように、小2立方体オペラッドの特異的鎖複体の自然な作用をもつのか？
• RQ2 カップ積や高次ブレイス作用素といった代数的作用素を用いて、この作用を明示的に構成できるか？
• RQ3 正規化ホッホシュライブコホホモロジー複体上のオペラッド構造は、整数上の小2立方体オペラッドの特異的鎖複体と quasi-isomorphic か？
• RQ4 この構成は、任意の特性における微分付き代数およびアソシエイティブ環スペクトラムへと拡張可能か？
• RQ5 偏順序と全順序の組み合わせ論的構造から生じるポセット複体 $I_n(t,p)$ の可縮性は、$\mathcal{H}$ と小2立方体オペラッドの特異的鎖複体との間の quasi-isomorphism を確立するのに十分か？

主な発見

• この論文は、小2立方体オペラッド $\mathcal{C}_2$ の特異的鎖複体と、デススペンションされた正規化ホッホシュライブコホホモロジー複体関手 $\Sigma^{-1}\bar{C}^*$ の自己準同型オペラッドの部分オペラッド $\mathcal{H}$ の間の準同型写像を確立する。
• 部分オペラッド $\mathcal{H}$ はカップ積 $\smallsmile$、単位 $e$、および高次ブレイス作用素 $\{\}_n$ によって生成され、これらはコホホモロジー上のゲルステンハーバー代数構造を符号化する。
• 部分複体 $A$、$B$、$C$ に分解されたポセット複体 $I_n(t,p)$ の可縮性は、帰納法を用いて証明され、それが $\mathcal{H}$ と小2立方体オペラッドの特異的鎖複体との間の準同型写像を示し、オペラッドのホモトピー的同値性を確認する。
• この構成は整数上でも有効であり、任意の特性における微分付き代数およびアソシエイティブ環スペクトラムへと拡張可能であり、広範な適用可能性を持つ。
• 作用素間の関係、例えば $e \smallsmile x = x \smallsmile e = x$、$\smallsmile$ の結合則、および $ (x_1 \cdot x_2)\{y_1,\dots,y_n\} = \sum (-1)^\varepsilon x_1\{y_1,\dots,y_k\} \cdot x_2\{y_{k+1},\dots,y_n\} $ といった関係が保存され、オペラッド構造に埋め込まれている。
• 証明では、ポセット複体の分解と部分順序の使用を用いた、新しい組合せ論的技法が用いられ、オペラッド的合成に関連する配置空間の可縮性を解析する。