[論文レビュー] A theory of base motives

Jack Morava|ArXiv.org|Aug 21, 2009

Advanced Topics in Algebra参考文献 23被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、代数的位相幾何における基本的動機の理論を提唱し、Deligneのℤ上の混合テート動機を、A理論およびTC(𝕊)を算術的環の類似として用いることで、球面スペクトル𝕊上の動機へ一般化する。アダムス型のスペクトル系列を確立し、環スペクトルの導来圏におけるリー代数を同定し、有理化によって、モチビック理論および正規化理論における自由リー代数と同型となることを示す。

ABSTRACT

A category of correspondences based on Waldhausen A-theory has interesting analogies, in the context of differential topology, to categories of mixed Tate motives studied in arithmetic geometry. In particular, the Hopf object S \wedge_A S (regarding A(*) as a kind of local ring over the sphere spectrum) has some similarities to a motivic group for this category; its associated rational Lie algebra is free, on odd-degree generators...

研究の動機と目的

• 代数的K理論の代わりにWaldhausenのA理論を用いて、ℤ上の混合テート動機の理論を球面スペクトル𝕊上の幾何的設定へ拡張すること。
• DeligneのMTM圏に類似した𝕊上の動機の圏を構成し、算術的動機からA理論的類似へのサイクル写像を定義すること。
• これらの基本的動機のモチビックガロア群を、特にTC(𝕊)および𝕊 ∧_A 𝕊を介して、環スペクトルの導来自己同型群と同定すること。
• 有理化を通じて、得られたリー代数を多重ゼータ値および正規化理論におけるものと関連付けること。
• 再帰的構造を持つ空間のための双変K理論枠組みを構築し、古典的対応を安定ホモトピー論へ一般化すること。

提案手法

• 導来テンソル積 −⊗^L_A k: D(A) → k-Mod を、RHom^*_A(k,k) への値をとる関手へと上げる。ここで RHom^*_A(k,k) は、次数付きリー代数の普遍包あらゆる代数である。
• 局所環 A → k におけるTorおよびExt群の関係を、アダムス（またはボッケシュタイン）型スペクトル系列を用いて調べる。特に、有限性条件の下で有効である。
• 可換代数における写像 A → k を、環スペクトルの類似 A(*) → 𝕊 または TC(𝕊) → 𝕊 に置き換え、これらを「新しい新しい局所環」として扱う。
• Waldhausenの有限支配的再帰的空間のK理論を用いて、X × Y → X における再帰的構造を持つ空間の圏 A-Corr を構成する。
• アダムスの Tateモチーフの逆やデススペンションの導入に類似した、A-Corr からその三角的包へのモノイダル安定化関手を定義する。
• 相対的共代数写像と標準的代数写像を用いて、代数的対応 SmCorr(V,W) から A(X × Y → X) の π₀ へのサイクル類同型写像を定義する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 A理論を用いて、ℤ上の混合テート動機の圏を球面スペクトル𝕊上の動機の圏へ一般化できるか？
• RQ2 この一般化された設定におけるモチビックガロア群の構造は何か？また、モチビック理論および正規化理論におけるリー代数とどのように関係するか？
• RQ3 環スペクトル上の導来圏におけるアダムス型スペクトル系列は、微分位相幾何におけるゼータ値およびレジュレーターとどのように関係するか？
• RQ4 算術的動機からA理論的動機へのサイクル写像を構成できるか？また、その写像が両理論のモチビック群を同定するか？
• RQ5 TC(𝕊)および環スペクトル𝕊 ∧_A 𝕊 は、基本的動機の導来自己同型群を実現するために果たす役割は何か？

主な発見

• 導来テンソル積 −⊗^L_A k は、RHom^*_A(k,k) への値をとる関手へと持ち上げられ、ここで RHom^*_A(k,k) は次数付きリー代数の普遍包あらゆる代数である。
• 有限性条件のもとで、ホモロジー群 Tor^A_*(k,k) とコホモロジー群 Ext^*_A(k,k) は双対なホップ代数であり、後者はリー代数の普遍包あらゆる代数である。
• 適切な条件下で、アダムス型スペクトル系列は退化し、導来函手がコホモロジー不変量と結びつく。
• 環スペクトルの文脈において、写像 A(*) → 𝕊 および TC(𝕊) → 𝕊 は、有理化がデリーニ・コンヌ・マルコリの動機におけるものと類似した自由リー代数となるホップ対象を生成する。
• SmCorr(V,W) から π₀ of A(X × Y → X) へのサイクル類写像は適切に定義されており、合成と両立する。これは、代数的対応からA理論的対応への関手の存在を示唆する。
• 𝕊上の混合テート動機のモチビック群は、𝕊 ∧_A 𝕊 の導来自己同型群と同型であると予想され、有理化により正規化理論で観察される群と一致する。