[论文解读] A tight Erd\H{o}s-P\'osa function for long cycles

Frank Mousset, Andreas Noever+2 more|arXiv (Cornell University)|Mar 24, 2016

Advanced Graph Theory Research参考文献 8被引用 6

一句话总结

本文建立了图中长圈的Erdős-Pósa函数的渐近最优界，证明了任意图要么包含 $k$ 个长度至少为 $l$ 的顶点不相交圈，要么存在一个大小为 ${O}(kl + k\log k)$ 的击中集，该击中集与所有此类圈相交。该结果收紧了先前的界，并为排除 $k$ 个此类圈的图提供了树宽的匹配上界。

ABSTRACT

A classic result of Erd\\H{o}s and P\\'osa says that any graph contains either $k$ vertex-disjoint cycles or can be made acyclic by deleting at most $O(k \\log k)$ vertices. Here we generalize this result by showing that for all numbers $k$ and $l$ and for every graph $G$, either $G$ contains $k$ vertex-disjoint cycles of length at least $l$, or there exists a set $X$ of $\\mathcal O(kl+k\\log k)$ vertices that meets all cycles of length at least $l$ in $G$. As a corollary, the tree-width of any graph $G$ that does not contain $k$ vertex-disjoint cycles of length at least $l$ is of order $\\mathcal O(kl+k\\log k)$. These results improve on the work of Birmel\\'e, Bondy and Reed '07 and Fiorini and Herinckx '14 and are optimal up to constant factors.

研究动机与目标

• 为长度至少为 $l$ 的圈的Erdős-Pósa函数的渐近紧致性提供证明，解决Birmelé、Bondy和Reed（2007）以及Fiorini和Herinckx（2014）遗留的间隙。
• 建立一个函数 $f(l,k) = \mathcal{O}(kl + k\log k)$，该函数对所有长度 $\geq l$ 的圈的顶点击中集大小提供上界，与已知的下界在常数因子内匹配。
• 利用新的击中集函数，推导出不包含 $k$ 个顶点不相交长圈的图的树宽的紧上界。
• 探讨长圈的Erdős-Pósa性质是否可推广至 $S$-圈（与指定顶点集 $S$ 相交的圈）以及边-Erdős-Pósa版本，提出这些方向的开放问题。

提出的方法

• 通过结构图分解与投影技术的结合，构造出所有长度至少为 $l$ 的圈的大小为 $\mathcal{O}(kl + k\log k)$ 的击中集。
• 采用 $\pi$-保持集合 $X$，以确保 $G-X$ 中的路径在核心圈 $C$ 上的投影保持一致，从而在投影下保持圈结构。
• 使用极小反例论证与通过圈长度最小性导出的矛盾，证明 $H$-路径的投影必须位于子图 $H_C$ 或 $H_C - e^*$ 内，从而实现结构控制。
• 利用极图构造（完全图与高圈长大三正则图）建立击中集大小的下界，证明其渐近最优性。
• 借助已知的树宽结果（如Birmelé定理），推导出排除 $k$ 个顶点不相交长圈的图的树宽为 $\mathcal{O}(kl + k\log k)$。
• 将问题约化为分析 $G-X$ 中的圈投影与路径行为，利用路径长度界与圈最小性约束可能的配置。

实验结果

研究问题

• RQ1 长度至少为 $l$ 的圈的Erdős-Pósa函数是否渐近最优，且能否改进为 $\mathcal{O}(kl + k\log k)$？
• RQ2 长圈的击中集大小是否可被 $\mathcal{O}(kl + k\log k)$ 限制，与极图构造所得的已知下界匹配？
• RQ3 不包含 $k$ 个顶点不相交长圈的图的树宽是否也满足 $\mathcal{O}(kl + k\log k)$ 的界？
• RQ4 该结果能否推广至 $S$-圈（与指定顶点集 $S$ 相交的圈）或长圈的边-Erdős-Pósa版本？

主要发现

• 本文建立了所有长度至少为 $l$ 的圈的击中集，其大小为 $6kl + 10k\log_2 k + 40k + 10k\log_2\log_2 k$，该值为 $\mathcal{O}(kl + k\log k)$，与已知下界在常数因子内匹配。
• 该界渐近最优：当 $k \geq 2$ 时，由完全图 $K_{kl-1}$ 可得 $f(l,k) \geq (k-1)l$，当 $l < \frac{1}{2}\log_2 k$ 时，由高圈长大三正则图可得 $f(l,k) \geq \frac{1}{8}k\log_2 k$。
• 任何不包含 $k$ 个顶点不相交长圈的图的树宽至多为 $\mathcal{O}(kl + k\log k)$，与击中集大小匹配。
• 该结果优于先前的界：Birmelé、Bondy和Reed（2007）的界为 $\mathcal{O}(lk^2)$，Fiorini和Herinckx（2014）的界为 $\mathcal{O}(lk\log k)$，而本文实现了渐近最优的 $\mathcal{O}(kl + k\log k)$。
• 通过构造 $\pi$-保持集合 $X$ 并利用路径在核心圈 $C$ 上的投影，确保不会形成新的短圈，从而保持最小性并支持矛盾论证。
• 本文确认函数 $f(l,k) = \mathcal{O}(kl + k\log k)$ 在常数因子内是紧的，解决了Birmelé等（2007）以及Fiorini和Herinckx（2014）提出的开放问题。