[论文解读] A variant of the linear isotropic indeterminate couple stress model with symmetric local force-stress, symmetric nonlocal force-stress, symmetric couple-stresses and complete traction boundary conditions

Ionel‐Dumitrel Ghiba, Patrizio Neff+2 more|arXiv (Cornell University)|Apr 3, 2015

Nonlocal and gradient elasticity in micro/nano structures参考文献 69被引用 11

一句话总结

本文提出了一种线性各向同性不确定耦合应力模型的对称变体，该模型强制实现对称的局部与非局部力-应力张量、对称的偶应力，以及完整的牵引边界条件。论文证明了解的存在性与唯一性，并表明该模型可使用对称应力重新表述，而不会改变场方程，仅在边界条件上有所不同，且引入了一种新颖的可积性条件，将应变场与旋转场联系起来。

ABSTRACT

In this paper we venture a new look at the linear isotropic indeterminate couple stress model in the general framework of second gradient elasticity and we propose a new alternative formulation which obeys Cauchy-Boltzmann's axiom of the symmetry of the force stress tensor. For this model we prove the existence of solutions for the equilibrium problem. Relations with other gradient elastic theories and the possibility to switch from a {4th order} (gradient elastic) problem to a 2nd order micromorphic model are also discussed with a view of obtaining symmetric force-stress tensors. It is shown that the indeterminate couple stress model can be written entirely with symmetric force-stress and symmetric couple-stress. The difference of the alternative models rests in specifying traction boundary conditions of either rotational type or strain type. If rotational type boundary conditions are used in the partial integration, the classical anti-symmetric nonlocal force stress tensor formulation is obtained. Otherwise, the difference in both formulations is only a divergence--free second order stress field such that the field equations are the same, but the traction boundary conditions are different. For these results we employ a novel integrability condition, connecting the infinitesimal continuum rotation and the infinitesimal continuum strain. Moreover, we provide the complete, consistent traction boundary conditions for both models.

研究动机与目标

• 通过强制实现对称的力-应力张量与偶应力张量，解决经典不确定耦合应力模型中的不一致性。
• 建立线性各向同性不确定耦合应力模型在对称应力下的数学适定公式化。
• 阐明牵引边界条件在决定非局部力-应力张量结构中的作用。
• 证明新对称公式与经典公式在至多相差一个无散度应力场的前提下等价。
• 为对称与反对称应力公式化提供一致且具有物理解释的牵引边界条件。

提出的方法

• 使用位移梯度 ∇u 的对称部分及其旋度 Curl(sym∇u) 构建能量泛函，以确保对称的力-应力张量。
• 引入一种新颖的可积性条件，将微小旋转（axl(skew∇u)）与应变场（sym∇u）联系起来，从而实现一致的对称应力定义。
• 推导出 Curl(sym∇u) 公式下的完整边界值问题，确保非局部力-应力张量与偶应力张量的对称性。
• 应用虚功原理推导弱形式，并在索伯列夫空间中证明解的存在性与唯一性。
• 将新对称公式与经典 ∇[axl(skew∇u)] 公式进行比较，表明两者差异仅存在于牵引边界条件与一个无散度应力场。
• 证明四阶梯度弹性模型可等价地表示为一个二阶微结构模型，后者可自然实现对称应力并提供透明的边界条件。

实验结果

研究问题

• RQ1 经典不确定耦合应力模型能否被重新表述为在保持相同场方程的同时，确保对称的局部与非局部力-应力张量？
• RQ2 在二阶梯度弹性中，对称力-应力公式化的协调牵引边界条件是什么？
• RQ3 在不确定耦合应力模型中，不同边界条件（旋转型 vs. 应变型）如何影响非局部力-应力张量的结构？
• RQ4 应变与旋转之间可积性条件在实现对称应力公式化中起到何种作用？
• RQ5 四阶梯度弹性模型能否等价地表示为一个具有对称应力与透明边界条件的二阶微结构模型？

主要发现

• 所提出的模型确保了对称的局部与非局部力-应力张量以及对称的偶应力，满足柯西-伯尔茨曼公理。
• 新对称公式与经典反对称公式的场方程保持不变，仅在牵引边界条件上存在差异。
• 两种公式的差异仅在于一个无散度的二阶应力场，该场不影响平衡方程。
• 通过在索伯列夫空间中使用变分方法，严格证明了新对称公式的解的存在性与唯一性。
• 该模型可等价地重述为一个二阶微结构模型，其中边界条件清晰透明，且对称应力张量自然得到满足。
• 已为对称 Curl(sym∇u) 公式与经典 ∇[axl(skew∇u)] 公式完整推导出一致的牵引边界条件，解决了长期存在的模糊性问题。