[論文レビュー] A Variational Formula for the Lyapunov Exponent of Brownian Motion in Stationary Ergodic Potential

Johannes Rueß|arXiv (Cornell University)|Aug 20, 2013

Advanced Mathematical Modeling in Engineering参考文献 29被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、非コンpaktoな設定における定常エルゴード的非負ポテンシャル内のブラウン運動のリャプノフ指数について、シュレーディンガーの結果を周期的状況から一般化した変分公式を確立する。主な貢献は、グリーン関数の指数的減衰率を特徴付ける変分表現であり、これは確率的ポテンシャルと平均化されたポテンシャルの比較を可能にし、クエンチ自由エネルギーの変分公式を導く。

ABSTRACT

We establish a variational formula for the exponential decay rate of the Green function of Brownian motion evolving in a random stationary and ergodic nonnegative potential. Such a variational formula is established by Schroeder in 'Green's Functions for the Schrödinger Operator with Periodic Potential', J. Funct. Anal. 77 (1988), for potentials on compact spaces and is generalised in the present article to a non-compact setting. We show exponential decay of the Green function implicitly. This formula for the Lyapunov exponent has several direct implications. It allows to compare the influence of a random potential to the influence of the averaged potential. It also leads to a variational expression for the quenched free energy.

研究の動機と目的

• 非コンパクト領域における定常エルゴード的ポテンシャルへのシュレーディンガーのリャプノフ指数の変分公式の一般化。
• サブアディティブ性ではなく、変分的特徴付けを用いてリャプノフ指数の存在を確立すること。
• 確率的シュレーディンガー作用素のクエンチ自由エネルギーの変分表現を提供すること。
• 関数解析的手法を用いて、$V_\omega$ で殺すブラウン運動のグリーン関数の指数的減衰率を特徴付けること。

提案手法

• シュレーディンガーの手法を非コンパクトで定常エルゴード的ポテンシャルへ拡張することで、リャプノフ指数の変分公式を導出する。
• グリーン関数の減衰を分析するために、ベクトル場のウェイユ分解（渇路的成分とポテンシャル成分）を用いる。
• 関数空間 $L^2$ における関数解析的技法を用い、密度に関する議論と $\mathbb{D}$ 内の滑らかな関数による近似を行う。
• 畳み込み近似と切断を用いて、関連する関数空間内での滑らかで compact な台を持つベクトル場の稠密部分集合を構成する。
• 変分クラスにおけるベクトル場の発散なし構造を活用し、それらが元の確率的ダイナミクスと整合することを保証する。
• ポテンシャルのエルゴード性と定常性に依拠することで、サンプルパス全体でリャプノフ指数がほとんど確実に定数であることを保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非コンパクトで定常エルゴード的状況において、シュレーディンガーの周期的状況からの一般化が可能なリャプノフ指数の変分公式を確立できるか？
• RQ2 確率的ポテンシャルは、平均化されたポテンシャルと比較して、グリーン関数の減衰率にどのように影響を与えるか？
• RQ3 この文脈において、リャプノフ指数とクエンチ自由エネルギーの関係は何か？
• RQ4 ベクトル場の渇路的成分とポテンシャル成分は、グリーン関数の指数的減衰を特徴付けるためにどのように用いられるか？

主な発見

• リャプノフ指数 $\alpha_V(y)$ は $\mathbb{P}$-a.s. で存在し、$y \in \mathbb{R}^d \setminus \{0\}$ に対して定数であり、極限 $\lim_{r\to\infty} -\frac{1}{r}\ln g(0,ry,\omega)$ として定義される。
• シュレーディンガーの結果を周期的状況から定常エルゴード的ポテンシャルへ一般化したリャプノフ指数の変分公式が確立された。
• グリーン関数は決定論的な指数的減衰を示し、その減衰率は確率密度および発散なしベクトル場の上での変分表現によって特徴付けられる。
• クエンチ自由エネルギーは、リャプノフ指数の公式から導かれる変分表現を有する。
• 渇路的ベクトル場の空間 $Y_{\mathrm{sol}}$ は $\mathcal{V}_{\mathrm{sol}}$ で稠密であり、変分形式の有効性を保証する。
• 滑らかでコンパクトな台を持つベクトル場が、畳み込みと切断による $L^2$ および $H^1$-ノルムにおける近似によって関連関数空間に稠密に埋め込まれることを確認し、滑らかな関数による近似が有効であることを裏付けた。