[論文レビュー] A weighted interpretation for the super Catalan numbers

Emily Allen, Irina Gheorghiciuc|arXiv (Cornell University)|Mar 20, 2014

Advanced Combinatorial Mathematics参考文献 8被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、2-Motzkin経路を用いて、超カタラン数 T(m,n) の重み付き組合せ的解釈を提供する。正の経路（m番目のステップで偶数レベルから開始）は +1 を、負の経路（奇数レベルから開始）は -1 を寄与する。主な結果は、T(m,n) が長さ m+n-2 の正のと負の2-Motzkin経路の個数の差に等しく、T(2,n) に対して従来の組合せ的解釈が可能になる、新たな代数的・組合せ的枠組みを提供することにある。

ABSTRACT

The super Catalan numbers $T(m,n)=(2m)!(2n)!/2m!n!(m+n)!$ are integers which generalize the Catalan numbers. With the exception of a few values of $m$, no combinatorial interpretation in known for $T(m,n)$. We give a weighted interpretation for $T(m,n)$ and develop a technique that converts this weighted interpretation into a conventional combinatorial interpretation in the case $m=2$.

研究の動機と目的

• 超カタラン数 T(m,n) に対する重み付き組合せ的解釈を提供すること。T(m,n) には既知の従来の組合せ的解釈が存在しない。
• 2-Motzkin経路を用いた枠組みを構築し、m番目のステップでの高さの偶奇に基づく符号付き和として T(m,n) を符号化すること。
• この重み付き解釈が m=2 の場合に従来の組合せ的解釈に変換可能であり、長年の未解決問題を解決すること。
• レベルに基づく経路分解と対合に基づく対称性を介して、超カタラン数とDyck経路との関係を確立すること。
• 導入された重み付き経路モデルを用いて、先行する超カタラン多項式および格子経路の数え上げに関する結果を一般化すること。

提案手法

• 長さ m+n-2 の2-Motzkin経路を定義する。ステップは上昇（U）、下降（D）、水平（S）、波打つ（W）であり、経路は高さ0で開始および終了する。
• m番目のステップを偶数の高さで開始する経路（正の経路）に +1 の重みを、奇数の高さで開始する経路（負の経路）に -1 の重みを割り当てる。
• F(m,n) を長さ m+n-2 のすべての2-Motzkin経路の重みの和として定義する。F(m,n) = P(m,n) - N(m,n) となる。ここで P と N は正の経路と負の経路の個数を表す。
• F(m,n) が T(m,n) と同じ再帰的関係 4F(m,n) = F(m+1,n) + F(m,n+1) を満たし、初期条件 F(1,n) = C_n（カタラン数）と一致することを証明する。
• 経路の縮約と高さ・ステップの分析を用いて、F(m,n+1) + F(m+1,n) への寄与は、位置 m における高さステップからのみ生じ、再帰的関係に4の係数が現れることを示す。
• 標準的な双対写像を用いて2-Motzkin経路をDyck経路に写像することで、Dyck経路の観点から結果を再定式化し、T(m,n) を (2m-1)-番目のステップのy座標が 4 を法として 1 に合同（正）または 3 に合同（負）である経路の個数の差として表現する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 T(m,n) に対して、従来の組合せ的解釈が存在しない場合でも、重み付き組合せ的解釈を構築可能か？
• RQ2 高さの偶奇に基づく重みを備えた2-Motzkin経路の符号付き和が、超カタラン数 T(m,n) を与えるか？
• RQ3 この重み付き解釈を、例えば T(2,n) のような特定の値に対して、従来の組合せ的解釈に変換可能か？
• RQ4 T(m,n) と T(n,m) の間に、経路反転によって示せる組合せ的対称性があるか？
• RQ5 この枠組みを、高さ制約付きの制限付きDyck経路や格子経路の観点から T(m,n) を解釈するために拡張可能か？

主な発見

• 超カタラン数 T(m,n) は、長さ m+n-2 の正の2-Motzkin経路と負の2-Motzkin経路の個数の差に等しく、正負の定義は m番目のステップにおけるy座標の偶奇に基づく。
• 重み付き和 F(m,n) = P(m,n) - N(m,n) は再帰的関係 4F(m,n) = F(m+1,n) + F(m,n+1) を満たし、T(m,n) と同じ再帰的関係と一致し、初期条件 F(1,n) = C_n と一致する。
• m=2 の場合、重み付き解釈により T(2,n) に対する従来の組合せ的解釈が得られ、文献における長年の未解決問題が解決される。
• T(m,n) = T(n,m) の対称性は、経路反転が重みを保存することを示すことで組合せ的に証明され、T(m,n) と T(n,m) を数える経路の間で重みを保存する対合が確立される。
• Dyck経路の観点から結果を再定式化すると、T(m,n) は長さ 2m+2n-2 のDyck経路において、(2m-1)-番目のステップが高さ ≡ 1 mod 4 で終わるもの（正）の個数から、高さ ≡ 3 mod 4 で終わるもの（負）の個数を引いたものに等しくなる。
• この枠組みにより、高さ差が1以内のDyck経路のペアと、高さ差が制限されたDyck経路との間の双対写像が可能となり、Gessel と Xin の先行結果と整合することが確認される。