[論文レビュー] Accuracy Preserving ENO and WENO Schemes using Novel Smoothness Measurement

Biswarup Biswas, Ritesh Kumar Dubey|arXiv (Cornell University)|Sep 21, 2018

Computational Fluid Dynamics and Aerodynamics参考文献 17被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、ENOおよびWENOスキームの精度を保ちつつ衝撃波近傍の振動を低減するため、多項式曲線長に基づく新しい滑らかさ測定法を提案する。新しいWENO5-LおよびWENO5-ZLスキームは、1次元および2次元のベンチマーク問題において、WENO5-JSおよびWENO5-Zよりも高い分解能と低い振動を達成しており、L¹およびL∞ノルムにおける理論的・計算的妥当性が確認されている。

ABSTRACT

A novel procedure is given for choosing smoothest stencil to construct less oscillatory ENO schemes. The procedure is further used to define smoothness parameter in the non-linear weights of new WENO schemes. The main significant features of these new ENO and WENO schemes is that they are less oscillatory and achieve their relevant order of accuracy in the presence of critical points in the exact solution. It is shown theoretically as well as computationally in $L^1$ and $L^\infty$ norm. Moreover, computational results are given to show less oscillatory behavior of the new WENO scheme compared to WENO5-JS and WENO5-Z schemes.

研究の動機と目的

• 不連続点および臨界点の近傍で生じる誤った振動の問題に対処する。
• 差分が等しい場合に丸め誤差の影響で失敗する可能性がある古典的ENOステンシル選択の限界を克服する。
• 解の特性をよりよく捉える、より強固で正確なWENOスキーム用の滑らかさ指標を開発する。
• 従来のスキームが性能を低下させる臨界点においても、形式的精度が保持されることを保証する。
• 衝撃波を捕捉する際に振動を引き起こさない長さに基づく非線形重みを用いた新しいWENO再構成を設計する。

提案手法

• 従来の差分商の代わりに、ENO再構成多項式の弧長に基づく新しい滑らかさ測定法を導入する。
• ENOステンシル選択プロセスにおいて、多項式曲線長を滑らかさ指標として用い、曖昧さのない最も滑らかなステンシルを特定する。
• ENO多項式の長さに基づく新しい非線形重みを定義し、従来の滑らかさ指標を置き換える。
• これらの長さに基づく重みを用いて、新しいWENOスキーム—WENO5-LおよびWENO5-ZL—を構築し、精度の向上と振動の低減を図る。
• 有限体積法フレームワークを用いて、双曲型保存則を解くためにこれらのスキームを適用し、標準的な1次元および2次元テストケースで検証する。
• 理論的分析と数値実験をL¹およびL∞ノルムで実施し、精度と非振動的挙動を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 曲線長に基づく滑らかさ指標は、ENOおよびWENOスキームの精度と非振動的挙動を向上させることができるか？
• RQ2 等しい差分商によって生じるステンシル選択の曖昧さは、新しい滑らかさ測定法によって解消されるか？
• RQ3 新しいWENOスキームは、従来のスキームが精度を失う臨界点においても、形式的精度を保つことができるか？
• RQ4 WENO5-JSおよびWENO5-Zと比較して、新しいスキーム—WENO5-LおよびWENO5-ZL—は衝撃波および不連続点をどの程度よく捉えられるか？
• RQ5 2次元問題における強い衝撃波近傍で、長さに基づく滑らかさ指標はどの程度分解能を向上させるか？

主な発見

• 提案されたWENO5-LおよびWENO5-ZLスキームは、1次元および2次元のベンチマーク問題において、WENO5-JSおよびWENO5-Zと比較して、より高い精度と低い振動を達成している。
• 多項式曲線長に基づく新しい滑らかさ測定法により、差分商が等しい場合に生じるステンシル選択の曖昧さが解消され、誤差の原因となることが防がれた。
• 理論的および計算的結果により、新しいスキームが臨界点でも形式的精度を保持することが確認された。
• L¹およびL∞ノルムにおける数値結果から、新しいスキームの収束性および安定性が優れていることが示された。
• 2次元の衝撃収縮および爆発問題において、新しいスキームはWENO5-JSおよびWENO5-Zと比較して、衝撃波の分解能が明確に向上し、流れの特徴をよりよく捉えている。
• 表面プロットの結果から、長さに基づく滑らかさ指標がより多くの流れの特徴を捉えていることが明らかであり、振動が低減され、衝撃波の分解能が向上している。