[論文レビュー] Acylindrical hyperbolicity from actions on CAT(0) cube complexes: a few criteria

Anthony Genevois|arXiv (Cornell University)|Oct 27, 2016

Geometric and Algebraic Topology参考文献 24被引用数 6

ひとこと要約

この論文は、接触図と超平面への作用を分析することにより、CAT(0)立方複体上で作用する群の非一様的弱い双曲的性のための新しい基準を確立する。非一様的弱い双曲的性を持つ作用が立方複体上で与えられれば、接触図上でも非一様的双曲的性を持つ作用が誘導され、WPDの収縮等長写像は超平面の斜め貫通ペアによって特徴づけられる。主な結果は、有限次元のCAT(0)立方複体上で群が本質的かつ双曲的かつ作用する場合、その群は双曲的かつ非一様的であるか、または巡回群である有限指数部分群をもつことである。

ABSTRACT

The question which motivates the article is the following: given a group acting on a CAT(0) cube complex, how can we prove that it is acylindrically hyperbolic? Keeping this goal in mind, we show a weak acylindricity of the action on the contact graph associated to a CAT(0) cube complex, and we prove a characterisation of WPD contracting isometries of CAT(0) cube complexes. As a first consequence, we find alternative arguments to show several criteria which were proved by Indira Chatterji and Alexandre Martin. Next, we show that if a group acts essentially and acylindrically on the hyperplanes (i.e., the intersection of the stabilisers of two hyperplanes which are sufficiently far away from each other has its cardinality uniformly bounded) on a finite-dimensional CAT(0) cube complex, then it contains a finite-index subgroup which is either acylindrically hyperbolic or cyclic. Finally, we prove a statement about codimension-one subgroups, which implies that, if a group contains a finitely generated codimension-one subgroup which is malnormal and which satisfies the bounded packing property, then this group must contain a finite-index subgroup which is either acylindrically hyperbolic or cyclic.

研究の動機と目的

• CAT(0)立方複体上で作用する群の非一様的双曲的性を示すための新しい基準を開発すること。
• 点の安定化部分群が十分でない場合に非一様的双曲的性を示す挑戦に取り組むこと、これはほぼ安定化部分群を制御する必要があるため。
• 超平面の斜め貫通を用いて、CAT(0)立方複体内でのWPD収縮等長写像を特徴づけること。
• 超平面への作用が、非一様的双曲的性または有限指数部分群の仮想巡回性を示す条件を確立すること。
• 既存の特殊クラスの群における非一様的双曲的性に関する結果を一般化し、別証明を与えること。

提案手法

• 遠く離れた点の安定化部分群の交わりが有限であるような、CAT(0)立方複体上での非一様的弱い双曲的性作用の概念を導入する。
• このような作用が、立方複体に関連する双曲的空間である接触図上でも非一様的双曲的性作用を誘導することを証明する。
• CAT(0)立方複体内でのWPD収縮等長写像を、互いに十分に離れた超平面のペアを斜めに貫通するものとして特徴づける。
• 余次元1部分群の有界被覆性と有限高さを用いて、超平面の安定化部分群の交わりを制御する。
• 部分群の指数に関する群論的補題を用いて、遠く離れた超平面の安定化部分群の交わりの大きさを評価する。
• 安定化部分群の交わりに関する有限性条件を導出し、超平面における双曲的性を示し、非一様的双曲的性または仮想巡回性に結論を導く。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 CAT(0)立方複体上での作用が、その接触図上での非一様的双曲的性作用を誘導する条件は何か？
• RQ2 CAT(0)立方複体内でのloxodromic等長写像が、接触図への作用に関してWPD要素であるのはいつか？
• RQ3 超平面の安定化部分群にどのような条件が課されれば、群の作用が超平面において非一様的双曲的になるか？
• RQ4 本質的かつ非一様的双曲的かつ作用する超平面を持つ群の有限指数部分群が、非一様的双曲的または巡回群であることを示せるか？
• RQ5 有界被覆性を持つ、特徴が有限生成の余次元1部分群が存在する場合、非一様的双曲的性または仮想巡回性が成り立つか？

主な発見

• CAT(0)立方複体上で非一様的弱い双曲的性を持つ作用は、接触図上でも非一様的双曲的性を持つ作用を誘導する。
• 群の元がCAT(0)立方複体内でWPD収縮等長写像であることは、互いに十分に離れた超平面のペアを斜めに貫通するときにかつそのときに限り成り立つ。
• 有限次元のCAT(0)立方複体上で群が超平面に対して本質的かつ非一様的双曲的かつ作用するならば、その群は非一様的双曲的または巡回群である有限指数部分群をもつ。
• 少なくとも $ n \cdot \dim(X) $ 個の他の超平面によって分離された2つの超平面の安定化部分群の交わりの大きさは、$ (M! \cdot \dim(X)!)^n \cdot N $ で有界であり、ここで $ M $ は固定された超平面の安定化部分群の指数を上から抑える定数、$ N $ は超平面の安定化部分群の高さを上から抑える定数である。
• 群が有界被覆性を持つ有限生成の余次元1部分群をもつならば、その群は非一様的双曲的または巡回群である有限指数部分群をもつ。
• 証明は、対称群の積における部分群の指数に関する群論的補題を用いて、安定化部分群の交わりを評価することに依拠している。