[论文解读] Additional moments and $x$-space approximations of four-loop splitting functions in QCD

S. Moch, Ben Ruijl+3 more|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2023

Particle physics theoretical and experimental studies被引用 2

一句话总结

本论文利用深度非弹性散射结构函数，计算了量子色动力学中所有味 singlet 分裂函数在 N=10（纯 singlet 夸克情形下为 N=12）以内的四圈（N³LO）反常维数。这些结果为验证更复杂的非壳上算符矩阵元计算提供了关键基准，并实现了对 P(3)_{gq} 和 P(3)_{gg} 在 x 空间中的精确近似，显著改善了 P(3)_{gg} 在大 x 区域的行为。

ABSTRACT

We have extended our previous computations of the even-N moments of the flavour-singlet four-loop splitting functions to N=12 for the pure-singlet quark case and N=10 for all other cases. These results, obtained using physical quantities in inclusive deep-inelastic scattering, have been and will be used to validate conceptionally much more challenging determinations of these splitting functions from off-shell operator matrix elements (OMEs). For the quark-gluon and gluon-gluon splitting functions, which have yet to be computed to higher N using OMEs, we construct approximations based on our moments and endpoint constraints, where we present new large-x results for the gluon-gluon case. These approximations facilitate an approximate N3LO evolution of parton distributions which are sufficiently accurate outside the region of small momentum fractions x.

研究动机与目标

• 计算四圈分裂函数在更高偶数 N 下的矩，以提高现象学精度。
• 对纯 singlet 夸克情形，解析计算至 N=12；对其他味 singlet 通道，计算至 N=10。
• 验证四圈分裂函数的复杂非壳上算符矩阵元计算。
• 利用矩和端点约束，构建 P(3)_{gq} 和 P(3)_{gg} 的 x 空间近似。
• 实现对 x > 10^{-3} 的近似 N³LO 部分子分布函数演化。

提出的方法

• 利用包含式深度非弹性散射结构函数计算四圈分裂函数的矩。
• 在 FORM 中使用 FORCER 程序进行解析计算，计算量高达 2×10^8 CPU 秒。
• 利用 Mellin 矩重构 x 空间分裂函数，结合端点约束和大 x 行为。
• 应用已知的高能极限和阈值极限，约束 P(3)_{gg}(x) 和 P(3)_{gq}(x) 的函数形式。
• 推导 P(3)_{gg}(x) 的大 x 展开式，包含至 ζ5 及对数项。
• 将结果与已知极限进行对比，并作为未来基于 OME 计算的基准。

实验结果

研究问题

• RQ1 在 N=10 和 N=12 时，所有味 singlet 分裂函数的四圈反常维数是什么？
• RQ2 如何基于矩和端点行为，构建 P(3)_{gq}(x) 和 P(3)_{gg}(x) 的精确 x 空间近似？
• RQ3 在 N³LO 下，胶子-胶子分裂函数 P(3)_{gg}(x) 的大 x 行为是什么？它如何约束函数形式？
• RQ4 所计算的矩在多大程度上验证了未来四圈分裂函数的非壳上算符矩阵元计算？
• RQ5 在 x > 10^{-3} 的范围内，基于矩的近似方法能在多大程度上实现近似 N³LO PDF 演化？

主要发现

• 在 N=8 和 N=10 时，纯 singlet 夸克分裂函数 P(3)_{ps} 被解析计算，包含所有色结构和至 ζ5 的 zeta 值。
• 在 N=8 时，非对角分裂函数 P(3)_{qg} 和 P(3)_{gq} 被完整解析表达，以色因子和 zeta 值表示。
• 通过完全掌握在 x→1 时非零的所有项，包括 L0、L1^2 和 L1^3 的系数，重构了胶子-胶子分裂函数 P(3)_{gg}。
• P(3)_{gg}(x) 的大 x 展开式被确定，包含与 1/x、(1−x)/x、(1+x²)(1−x) 成比例的项，以及至 L1^3 的对数项。
• 对 P(3)_{gq} 和 P(3)_{gg} 构建的 x 空间近似足够精确，可用于 x > 10^{-3} 区域的 N³LO PDF 演化，且在 x=10^{-4} 时修正预计低于百分之几。
• 所有结果，包括矩值和数值近似，均已公开发布在 arXiv 上，供未来现象学和计算验证使用。