[论文解读] Adjacencies in Permutations

Bhadrachalam Chitturi, Krishnaveni K. S|arXiv (Cornell University)|Jan 18, 2016

Genome Rearrangement Algorithms参考文献 15被引用 5

一句话总结

该论文提出了一种框架，可高效地在 O(n²) 时间内计算大小为 n 且恰好具有 k 个邻接关系的排列数 |Pₙ(k)|，适用于四种邻接类型——普通、反向、前向及前后双向邻接。该框架建立了邻接关系生成与块移动操作（如前缀转位）之间的联系，表明每次移动平均可产生约 1.5 个新邻接关系，从而可估算出排序排列所需的期望移动次数。

ABSTRACT

A permutation on an alphabet $ Σ$, is a sequence where every element in $ Σ$ occurs precisely once. Given a permutation $ π$= ($π_{1} $, $ π_{2} $, $ π_{3} $,....., $ π_{n} $) over the alphabet $ Σ$ =$\{ $0, 1, . . . , n$-$1 $\}$ the elements in two consecutive positions in $ π$ e.g. $ π_{i} $ and $ π_{i+1} $ are said to form an \emph{adjacency} if $ π_{i+1} $ =$ π_{i} $+1. The concept of adjacencies is widely used in computation. The set of permutations over $ Σ$ forms a symmetric group, that we call P$ _{n} $. The identity permutation, I$ _{n}$ $\in$ P$_{n}$ where I$_{n}$ =(0,1,2,...,n$-$1) has exactly n$ - $1 adjacencies. Likewise, the reverse order permutation R$_{n} (\in P_{n})$=(n$-$1, n$-$2, n$-$3, n$-$4, ...,0) has no adjacencies. We denote the set of permutations in P$_{n} $ with exactly k adjacencies with P$_{n} $(k). We study variations of adjacency. % A transposition exchanges adjacent sublists; when one of the sublists is restricted to be a prefix (suffix) then one obtains a prefix (suffix) transposition. We call the operations: transpositions, prefix transpositions and suffix transpositions as block-moves. A particular type of adjacency and a particular block-move are closely related. In this article we compute the cardinalities of P$_{n}$(k) i.e. $ \forall_k \mid $P$ _{n} $ (k) $ \mid $ for each type of adjacency in $O(n^2)$ time. Given a particular adjacency and the corresponding block-move, we show that $\forall_{k} \mid P_{n}(k)\mid$ and the expected number of moves to sort a permutation in P$_{n} $ are closely related. Consequently, we propose a model to estimate the expected number of moves to sort a permutation in P$_{n} $ with a block-move. We show the results for prefix transposition. Due to symmetry, these results are also applicable to suffix transposition.

研究动机与目标

• 计算大小为 n 且恰好具有 k 个邻接关系的排列数 |Pₙ(k)|，针对四种邻接类型：普通、反向、前向及前后双向邻接。
• 建立一个理论框架，将邻接关系生成与块移动操作（如前缀和后缀转位）联系起来。
• 利用计算得到的邻接关系分布，估算使用块移动对随机排列 Pₙ 进行排序所需的期望移动次数。
• 证明 Pₙ 中不可约排列的数量为 Θ(n!)，表明存在一个庞大且非平凡的排列集合需要分析。

提出的方法

• 使用递推关系和动态规划在 O(n²) 时间内计算所有 k 对应的 |Pₙ(k)|，并为每种邻接类型分别处理。
• 定义四种邻接类型：类型 1（普通），类型 2（反向邻接），类型 3（前向邻接），类型 4（前后双向邻接），每种类型具有不同的边界条件。
• 应用一种约化过程，通过用单个代表元素替换连续邻接的最大块，并调整较大值，从而生成不可约排列。
• 推导出单次块移动中产生双邻接（即两个新邻接关系）的概率 σ，表明当 n 较大时 σ ≈ 0.5，进而得出每次移动平均产生 1 + σ ≈ 1.5 个新邻接关系。
• 利用镜像排列之间的对称性减少计算量，因为镜像排列具有相同的邻接关系数和移动需求。
• 基于对 j ≤ i 的 |Pⱼ(0)| 的计算值，构建一个预测模型，以 O(n²) 时间估算 E(Pₙ)，即对 Pₙ 中排列进行排序的期望移动次数。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于四种邻接类型中的每一种，大小为 n 且恰好具有 k 个邻接关系的排列数 |Pₙ(k)| 是多少？
• RQ2 如前缀转位等块移动操作如何与排列中邻接关系的生成相关联？
• RQ3 每次块移动平均产生多少个新邻接关系？这与排序排列所需期望移动次数有何关联？
• RQ4 能否基于 j < n 时 |Pⱼ(0)| 的小规模计算结果，构建一个模型来估算 E(Pₙ)，即对 Pₙ 中排列进行排序的期望移动次数？
• RQ5 随着 n 增大，特别是当 n > 9 时直接计算不可行，该模型估算 E(Pₙ) 的准确性如何？

主要发现

• 对于四种邻接类型中的每一种，所有 k 对应的 |Pₙ(k)| 均可在 O(n²) 时间内计算得出。
• 每次块移动（如前缀转位）平均产生的新邻接关系数为 1 + σ，其中 σ ≈ 0.5（当 n 较大时），因此每次移动平均产生约 1.5 个新邻接关系。
• 单次移动中产生双邻接（即两个新邻接关系）的概率 σ 推导为 σ = 1/2 − 2/(n(n−1))，其渐近值趋近于 0.5。
• Pₙ 中不可约排列的数量为 Θ(n!)，证实了无邻接关系的排列集合具有指数级规模且在结构上具有重要意义。
• 用于估算 E(Pₙ)（即排序排列的期望移动次数）的模型运行时间为 O(n²)，且随着 n 增大而更加精确。
• 由于对称性，前缀转位的结果可直接推广至后缀转位，从而扩展了该框架的适用范围。