[論文レビュー] Affine and Yangian Symmetries in $SU(2)_1$ Conformal Field Theory

Peter Bouwknegt, Andreas Ludwig+1 more|ArXiv.org|Dec 23, 1994

Advanced Algebra and Geometry参考文献 5被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、$SU(2)_1$ ワイス＝ツミノ＝ワッテンの conformal field theory に対して、ヤング推移的対称性の新規定式を導入し、スピンオン場を用いた半フェルミ統計を介して、コアリエーション関数と特徴関数がヤンガリアン $Y(sl_2)$ 代数から導かれることが示された。これは、Knizhnik-Zamolodchikov 方程式に基づく標準的なアフィン対称性の手法とは別個の代替手法を提供する。

ABSTRACT

In these lectures, we study and compare two different formulations of $SU(2)$, level $k=1$, Wess-Zumino-Witten conformal field theory. The first, conventional, formulation employs the affine symmetry of the model; in this approach correlation functions are derived from the so-called Knizhnik-Zamolodchikov equations. The second formulation is based on an entirely different algebraic structure, the so-called Yangian $Y(sl_2)$. In this approach, the Hilbert space of the theory is obtained by repeated application of modes of the so-called spinon field, which has $SU(2)$ spin $j= half$ and obeys fractional (semionic) statistics. We show how this new formulation, which can be generalized to many other rational conformal field theories, can be used to compute correlation functions and to obtain new expressions for the Virasoro and affine characters in the theory. [Lectures given at the 1994 Trieste Summer School on High Energy Physics and Cosmology, Trieste, July 1994.]

研究の動機と目的

• アフィン対称性に代わる代替代数的構造としてのヤンガリアン対称性を、$SU(2)_1$ conformal field theory において探求すること。
• スピン $j=\frac{1}{2}$ および分数統計を有するスピンオン場のモードを用いて、理論のヒルベルト空間が構成可能であることを示すこと。
• ヤンガリアン定式化を用いてコアリエーション関数および特徴関数を導出し、バーリゾロおよびアフィン特徴関数の新しい表現を提供すること。
• ヤンガリアン対称性を用いた、有理的 conformal field theories の一般化可能な枠組みを確立すること。
• ヤンガリアン手法と、Knizhnik-Zamolodchikov 方程式に基づく標準的なアフィン定式化との比較を行うこと。

提案手法

• 標準的なアフィン $\widehat{sl}_2$ 代数の代わりに、ヤンガリアン代数 $Y(sl_2)$ を基礎対称性構造として用いる。
• スピン $j=\frac{1}{2}$ および半フェルミ統計（分数統計）を有するスピンオン場のモードを繰り返し適用することでヒルベルト空間を構成する。
• ヤンガリアン対称性を用いてコアリエーション関数を導出し、$Y(sl_2)$ の代数的性質および表現論を活用する。
• ヤンガリアンフレームワークを用いて、$SU(2)_1$ 理論におけるバーリゾロおよびアフィン特徴関数の新しい表現を計算する。
• ヤンガリアン手法の結果を、Knizhnik-Zamolodchikov 方程式に基づく従来のアフィン定式化と比較する。
• ヤンガリアン $Y(sl_2)$ の表現論およびその最高重みモジュールの構造に依拠して、物理的状態を構築する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $SU(2)_1$ conformal field theory は、アフィン対称性の代わりにヤンガリアン対称性を用いて定式化可能か？
• RQ2 ヤンガリアン代数 $Y(sl_2)$ およびスピンオン場モードから、$SU(2)_1$ CFT のコアリエーション関数はどのように導かれるか？
• RQ3 スピンオンによって生成されるヒルベルト空間構造と、標準的なアフィンカレント代数の構成との関係は何か？
• RQ4 ヤンガリアン定式化から、バーリゾロおよびアフィン特徴関数の新しい表現を導出可能か？
• RQ5 このヤンガリアンに基づく手法は、他の有理的 conformal field theories にどの程度一般化可能か？

主な発見

• $SU(2)_1$ conformal field theory は、ヤンガリアン代数 $Y(sl_2)$ を用いた一貫性のある定式化が可能であり、標準的なアフィン対称性の手法とは別個の代替手法を提供する。
• 理論におけるコアリエーション関数はヤンガリアン対称性を用いて計算可能であり、Knizhnik-Zamolodchikov 方程式による結果と同等の結果が得られる。
• 理論のヒルベルト空間は、$j=\frac{1}{2}$ および半フェルミ統計を有するスピンオン場のモードを繰り返し適用することで生成される。
• ヤンガリアンフレームワークを用いて、$SU(2)_1$ 理論におけるバーリゾロおよびアフィン特徴関数の新しい表現が導出された。
• ヤンガリアン定式化は、$SU(2)_1$ を超えて一般化可能な新しい代数的構造を提供し、他の有理的 conformal field theories への応用可能性を示唆する。
• スピンオン場モードはヒルベルト空間の完全基底を形成しており、その分数統計はヤンガリアン実現において不可欠である。