[論文レビュー] Affine Hecke algebras for Langlands parameters

Anne‐Marie Aubert, Ahmed Moussaoui+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 13, 2017

Advanced Algebra and Geometry参考文献 57被引用数 22

ひとこと要約

本稿は、$p$-進群の強化ラングランズパラメータのベルンシュタイン成分に対して、アフィンヘッケ代数を構成し、それらの既約表現とラングランズパラメータの間の自然な全単射を確立する。臨界的または平方可積分表現が期待されるパラメータ型に対応することを証明し、多くの群において、構成された代数が古典的ヘッケ代数のベルンシュタインブロックとモラita同値であることを示し、ルスティグの単調表現に関する結果を一般化する。

ABSTRACT

It is well-known that affine Hecke algebras are very useful to describe the smooth representations of any connected reductive p-adic group G, in terms of the supercuspidal representations of its Levi subgroups. The goal of this paper is to create a similar role for affine Hecke algebras on the Galois side of the local Langlands correspondence. To every Bernstein component of enhanced Langlands parameters for G we canonically associate an affine Hecke algebra (possibly extended with a finite R-group). We prove that the irreducible representations of this algebra are naturally in bijection with the members of the Bernstein component, and that the set of central characters of the algebra is naturally in bijection with the collection of cuspidal supports of these enhanced Langlands parameters. These bijections send tempered or (essentially) square-integrable representations to the expected kind of Langlands parameters. Furthermore we check that for many reductive p-adic groups, if a Bernstein component B for G corresponds to a Bernstein component B^\vee of enhanced Langlands parameters via the local Langlands correspondence, then the affine Hecke algebra that we associate to B^\vee is Morita equivalent with the Hecke algebra associated to B. This constitutes a generalization of Lusztig's work on unipotent representations. It might be useful to establish a local Langlands correspondence for more classes of irreducible smooth representations.

研究の動機と目的

• ラングランズプログラムの自動的側からガロア側へ、特に強化ラングランズパラメータに対してアフィンヘッケ代数の役割を拡張すること。
• 強化ラングランズパラメータのベルンシュタイン成分に属する各メンバーと、新しいアフィンヘッケ代数の既約表現との間の自然な対応を確立すること。
• この構成が、臨界性や平方可積分性といった重要な表現論的性質を保つことの検証。
• 多くの$p$-進群において、新しい代数が対応するベルンシュタインブロックの古典的ヘッケ代数とモラita同値であることを確認し、局所ラングランズ対応をカテゴリファイすること。

提案手法

• 各ベルンシュタイン成分$\mathfrak{B}^\vee$の強化ラングランズパラメータに対して、中心化子を用いた歪み付き階数付きヘッケ代数の構成により、アフィンヘッケ代数（必要に応じて有限R群を拡張）を構成する。
• パラメータ$\phi$を慣性部分群$\mathbf{I}_F$に制限したものの中心化子を用い、Weyl群と根系データを定義するための根系$R(J^\circ, T)$を特定する。
• $\lambda(\alpha)$と$\lambda^*(\alpha)$は、$\phi$の成分の$t$-不変量を用いて定義され、これらがヘッケ代数の構造定数を決定する。
• $\vec{\mathbf{z}} = q_F^{1/2}$と特殊化することで、各単純反射に対して$(N_{s_\alpha} - q_F^{a})(N_{s_\alpha} + q_F^{-a}) = 0$の形の二次関係が得られる。
• Kazhdan–Lusztigパラメータ化を用いて、得られた表現を既知の分類結果と比較する。
• 特に$\mathrm{GL}_n(F)$、$\mathrm{SL}_n(F)$、および古典的群において、構成された代数と古典的ヘッケ代数$\mathcal{H}(\mathcal{G}(F))^\mathfrak{s}$との間のモラita同値性を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 各ベルンシュタイン成分の強化ラングランズパラメータに対して、自然なアフィンヘッケ代数を関連付けることができるか。その代数の既約表現が、その成分に属するパラメータと全単射で対応するか。
• RQ2 この対応が表現の性質を保っているか。例えば、臨界的または平方可積分的パラメータが、臨界的または平方可積分的表現に対応するか。
• RQ3 構成されたアフィンヘッケ代数が、自動的側の対応するベルンシュタインブロックの古典的ヘッケ代数とモラita同値であるか。
• RQ4 この構成により、ルスティグの単調表現に関する結果がより広い$p$-進群のクラスに一般化できるか。
• RQ5 ヘッケ代数の代数的構造が、$t$-不変量や根系といったラングランズパラメータの幾何学的・算術的データを反映しているか。

主な発見

• 構成されたアフィンヘッケ代数の既約表現は、強化ラングランズパラメータのベルンシュタイン成分に属するメンバーと自然に全単射で対応する。
• この代数の中心的文字の集合は、自然に強化ラングランズパラメータのカスピダルサポートと全単射で対応する。
• 臨界的または（本質的に）平方可積分的表現が、臨界的または（本質的に）平方可積分的ラングランズパラメータに対応する。
• $\mathrm{GL}_n(F)$、$\mathrm{SL}_n(F)$、および古典的群の純粋内部捩じれにおいて、構成された代数は対応するベルンシュタインブロックの古典的ヘッケ代数とモラita同値である。
• 例として$\mathcal{G} = \mathrm{GL}_4(F)^2 \times \mathrm{GL}_1(F)^3 \times \mathrm{SO}_{37}(F)$の場合、代数は$(N_{s_{\alpha_1}} - q_F^2)(N_{s_{\alpha_1}} + q_F^{-2}) = 0$、$(N_{s_{\alpha_2}} - q_F^3)(N_{s_{\alpha_2}} + q_F^{-3}) = 0$、および他の根についても同様の関係を持つ。指数は$t$-不変量と$a$-パラメータによって決定される。
• R群はこの例では自明であるため、$W_{\mathfrak{s}^\vee} = W_{\mathfrak{s}}^\circ$であり、Weyl群は$W_{B_2} \times W_{B_3}$である。