[論文レビュー] Affinizations and R-matrices for quiver Hecke algebras

Masaki Kashiwara, Euiyong Park|arXiv (Cornell University)|May 13, 2015

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 11被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、対称的ケースを一般化して、任意のクイバー・ヘッケ代数に対するアフィニゼーションとR行列を導入する。有限型のとき、有限次元性と単純加群の単純性を保つ、2つの有理的グレーディング加群圏間の双対性関手 $ \mathfrak{F}^{\mathcal{D}} $ を構成し、量子群間の単射準同型をカテゴリファイケーションする。

ABSTRACT

We introduce the notion of affinizations and R-matrices for arbitrary quiver Hekcke algebras. We show that they enjoy similar properties to those for symmetric quiver Hecke algebras. We next define the notion of a duality datum and construct a tensor functor between graded module categories of two quiver Hecke algebras. We give several examples of such functors .

研究の動機と目的

• 対称的クイバー・ヘッケ代数から任意のクイバー・ヘッケ代数へのアフィニゼーションとR行列の概念を一般化すること。
• アフィニゼーションされた実単純加群とそれらのR行列からなる双対性データ $\mathcal{D}$ を定義すること。
• クイバー・ヘッケ代数 $R^\mathcal{D}$ と $R$ のグレーディング加群圏の間のテンソル関手 $\mathfrak{F}^{\mathcal{D}}$ を構成すること。
• $R^\mathcal{D}$ が有限型のとき、$\mathfrak{F}^{\mathcal{D}}$ が有限次元加群を有限次元加群に写し、完全であることを証明すること。
• $\mathfrak{F}^{\mathcal{D}}$ が量子群の負部分代数間の単射準同型をカテゴリファイケーションすることを示すこと。

提案手法

• 単純 $R(\beta)$-加群 $\bar{M}$ のアフィニゼーション $(\mathsf{M}, z_\mathsf{M})$ を、$\mathsf{M}/z_\mathsf{M}\mathsf{M} \simeq \bar{M}$ を満たす、同次元自己準同型 $z_\mathsf{M}$ を持つグレーディング $R(\beta)$-加群として定義し、定義2.2の特定の条件を満たす。
• 正規化されたR行列 $R^{\mathrm{norm}}_{\mathsf{M},N} = z_\mathsf{M}^{-s} R_{\mathsf{M},N}$ を構成し、$s$ を $R_{\mathsf{M},N}$ の零点の位数として定め、スピンパラメータと整合性を保つ。
• 双対性データ $\mathcal{D}$ を、アフィニゼーションされた実単純加群 $\Delta(\beta_j)$、それらのスピンパラメータ $z_j$、および正規化されたR行列 $\mathsf{R}_{j,k}$ の集合として定義し、ブレード関係および可換関係を満たす。
• 双対性データ $\mathcal{D}$ を用いて、畳み込み構造と相互作用子構造を通じて、関手 $\mathfrak{F}^{\mathcal{D}}: \operatorname{Mod}_{\mathrm{gr}}(R^\mathcal{D}) \to \operatorname{Mod}_{\mathrm{gr}}(R)$ を構成する。
• $R^\mathcal{D}$ が有限型のとき、$\mathfrak{F}^{\mathcal{D}}$ が完全であり、有限次元性を保つことを証明する。
• $\mathcal{D}$ から導かれる行列 $\mathsf{A}^\mathcal{D}$ が、有限型リー代数のカルタン行列と一致することを検証し、量子群の準同型のカテゴリファイケーションを保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 アフィニゼーションとR行列は、対称的クイバー・ヘッケ代数から任意のクイバー・ヘッケ代数へ一般化可能か？
• RQ2 有限次元加群を有限次元加群に写し、単純性を保つ双対性関手 $\mathfrak{F}^{\mathcal{D}}$ が存在するか？
• RQ3 アフィニゼーションされた実単純加群のR行列が、テンソル関手を誘導する双対性データ $\mathcal{D}$ を形成できるか？
• RQ4 $\mathfrak{F}^{\mathcal{D}}$ は、量子群の負部分代数間の単射準同型をカテゴリファイケーションするか？
• RQ5 $R^\mathcal{D}$ が有限型のとき、$\mathfrak{F}^{\mathcal{D}}$ が単純加群に与える作用は明確か？

主な発見

• $\mathfrak{F}^{\mathcal{D}}$ は、有限次元 $R^\mathcal{D}$-加群を有限次元 $R$-加群に写す。
• $R^\mathcal{D}$ が有限型のとき、関手 $\mathfrak{F}^{\mathcal{D}}$ は完全である。
• $\mathfrak{F}^{\mathcal{D}}$ は、単純 $R^\mathcal{D}$-加群を、単純 $R$-加群またはゼロに写す。
• アフィニゼーションされた実単純加群とそれらのR行列から構成された双対性データ $\mathcal{D}$ に対して、$\mathfrak{F}^{\mathcal{D}}$ は単射準同型 $U^{-}(\overline{\mathfrak{g}}) \to U^{-}(\mathfrak{g}})$ をカテゴリファイケーションする。
• 例として、$R^\mathcal{D}$ が型 $A_{\ell-1}$、$R$ が型 $B_\ell$ のとき、$\mathfrak{F}^{\mathcal{D}}(L^\mathcal{D}(j)) \simeq L(1,1,2)$ が $j=1$ のとき成り立ち、それ以外の場合は $L(j+1)$ に同型である。
• $\mathfrak{F}^{\mathcal{D}}$ による畳み込み積への作用は、$j \neq 1$ のとき $\mathfrak{F}^{\mathcal{D}}(N \diamond L^\mathcal{D}(j)) \simeq \mathfrak{F}^{\mathcal{D}}(N) \diamond L(j+1)$、$j=1$ のとき $\mathfrak{F}^{\mathcal{D}}(N) \diamond L(1,1,2)$ で与えられる。