[論文レビュー] Algebraic Foundations of Proof Refinement

Jonathan Sterling, Robert Harper|arXiv (Cornell University)|Mar 15, 2017

Logic, programming, and type systems参考文献 16被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、依存型理論におけるタクティックベースの証明精錬を可能にする、新たなフレームワークであるDependent LCFを紹介する。このフレームワークは、以前の証明証拠に依存するサブゴールをサポートする。自然変換を用いて精錬規則を形式化し、LCFに順序付きマルチタクティクスを拡張することで、幅優先の繰り返し処理が可能になり、非局所的変数のインスタンス化の必要性が排除され、証明精錬における依存性問題が効果的に解決される。

ABSTRACT

We contribute a general apparatus for dependent tactic-based proof refinement in the LCF tradition, in which the statements of subgoals may express a dependency on the proofs of other subgoals; this form of dependency is extremely useful and can serve as an algorithmic alternative to extensions of LCF based on non-local instantiation of schematic variables. Additionally, we introduce a novel behavioral distinction between refinement rules and tactics based on naturality. Our framework, called Dependent LCF, is already deployed in the nascent RedPRL proof assistant for computational cubical type theory.

研究の動機と目的

• LCF風の証明精錬における依存性問題に対処すること。これは、依存型理論におけるサブゴールが、以前のサブゴールからの証拠に依存する場合を含む。
• スケルトン変数の非局所的インスタンス化の必要性を排除し、サブゴールが証拠に依存することを可能にすることで、その必要性をなくすこと。
• 自然性に基づく精錬規則とタクティクスの区別を形式化することで、モジュラリティと正しさを高めること。
• 双方向型付けと計算的キューブカル型理論における複雑な型合成をサポートする、Standard MLでの実装を提供すること。

提案手法

• 自然変換を用いて精錬規則とタクティクスの行動的差をモデル化する圏論的基盤を導入する。
• 入力（青）モードと出力（ワインレッド）モードを持つ、シーント形式の判断体系を用いて、サブゴールが以前のサブゴールからの証拠に依存する精錬論理を定義する。
• 関手と自然変換の合成を通じてタクティクスを合成する一般化されたシーケンシング戦術 'seq' を開発する。
• Caprettaの遅延モナドを用いて、再帰的戦術のための不動点コンビネータを構築し、マルチタクティクスを介して幅優先の繰り返し処理を可能にする。
• Standard MLでフレームワークを実装し、サブゴール間で置換をより効果的に伝搬できるマルチタクティクスベースの繰り返し戦略を採用する。
• フレームワークをRedPRLに適用し、計算的キューブカル型理論における正しくモジュラな証明精錬が可能になることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どのようにして、依存型理論における証拠に依存する他のサブゴールからの証拠に依存するサブゴールをサポートするように証明精錬を拡張できるか？
• RQ2 自然性は、精錬規則とタクティクスを区別する役割を果たすものであり、その役割はモジュラリティと正しさをどのように向上させるか？
• RQ3 再帰的戦術を、深さ優先ではなく幅優先のサブゴール処理をサポートする形で構築することは可能か？
• RQ4 非局所的変数インスタンス化に依存せずに、LCF風の証明支援システムにおける依存性問題をどのように解決できるか？
• RQ5 双方向型付けと複雑な型合成をサポートする統一された精錬と証拠意味論のフレームワークを構築することは可能か？

主な発見

• フレームワークは、サブゴールが以前のサブゴールからの証拠に依存することを許容することで、非局所的インスタンス化の必要性を排除し、証明精錬における依存性問題を効果的に解決した。
• 精錬規則とタクティクスの区別に自然性を用いることで、責任の明確な分離が可能になり、合成的推論が向上した。
• マルチタクティクスによる幅優先の繰り返し処理により、深さ優先の繰り返し処理よりも置換がサブゴール間でより効果的に伝搬される。
• RedPRLへの適用により、十分に強力な精錬装置を備えた実用的で使いやすい拡張型理論システムが実現可能であることが示された。
• フレームワークは、壊れやすく複雑なタクティクスを必要とせず、双方向型付けに準拠した洗練された型合成規則をサポートしている。