[論文レビュー] Algebraic models, Alexander-type invariants, and Green-Lazarsfeld sets

Alexandru Dimca, Ştefan Papadima+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 30, 2014

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 9被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、可換微分graded代数（cdga）における共振多様体の幾何と、完成化されたアレクサンダー不変量の有限性との間の関係を確立する。q-有限なq-モデルを持つ空間に対して、そのアレクサンダー不変量の完成化が有限次元であるための必要十分条件は、1次共振多様体の和集合における原点が孤立点であることである。さらに、境界付きの交差が正則な非固有的準射影的多様体で、除数上の交差形式が定値である場合、自明な特徴的多様体の原点における芽は、コンパクト化における0における共振多様体の芽と同型であることを示している。

ABSTRACT

We relate the geometry of the resonance varieties associated to a commutative differential graded algebra model of a space to the finiteness properties of the completions of its Alexander-type invariants. We also describe in simple algebraic terms the non-translated components of the degree-one characteristic varieties for a class of non-proper complex manifolds.

研究の動機と目的

• 完成化されたアレクサンダー不変量の有限性の性質を、cdgaモデルにおける共振多様体の幾何と関連付けること。
• 非固有的複素多様体の1次特徴的多様体の非平行移動成分を代数的に記述すること。
• Gysinモデルを用いて、形式的空間に関する既存の結果を、非形式的かつ非固有の準射影的多様体へと拡張すること。
• 境界付きの交差を持つ準射影的多様体の特徴的多様体と、そのコンパクト化における共振多様体との間で、芽レベルでの同型性を確立すること。

提案手法

• 位相的空間のモデルとして可換微分graded代数（cdga）を用い、特にq-有限なq-モデルを採用する。
• アレクサンダー不変量のI-進完成を用いて、それらが複素数ベクトル空間として有限次元であるかを調べる。
• H^1(A) 内の共振多様体 R^i_r(A) を用いて、完成化された不変量の有限性を特徴付ける。
• X = X̅ \ D と表される準射影的多様体 X に対して、Gysinモデルを適用する。ここで X̅ は射影的で D は正則交差を持つ。
• D の既約成分の交差形式を用いて、Gysinモデルが単純なcdga (H^*(X̅, C), d=0) に置き換え可能かどうかを決定する。
• 解析的芽同型を用いて、自明な特徴的多様体の近傍における特徴的多様体 V^1_r(X) の局所構造と、コンパクト化における0近傍の共振多様体 R^1_r(X̅) の局所構造とを関連付ける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 cdgaモデル A に対して、空間 X のアレクサンダー不変量の完成化が有限次元であるための条件は何か？
• RQ2 非固有の複素多様体に対して、1次特徴的多様体 V^1_1(X) の非平行移動成分を代数的にどのように記述できるか？
• RQ3 特徴的多様体 V^1_r(X) の自明な特徴的多様体における芽が、0における共振多様体 R^1_r(X̅) の芽と同型になるのはどのような場合か？
• RQ4 除数 D^k の交差行列の定値性が、準射影的多様体のcdgaモデルの簡略化に果たす役割は何か？
• RQ5 どのような場合に、X のGysinモデルを、微分が0である X̅ のコホモロジー環 (H^*(X̅, C), d=0) に置き換えても、特徴的多様体の局所構造に関する情報を失わないか？

主な発見

• q-有限なq-モデル A を持つ空間 X に対して、完成化 ⨁_{i≤q} Ĥ_i(X^{ab}, C) が有限次元であるための必要十分条件は、0 が多様体 ⋃_{i≤q} R^i_1(A) の孤立点であることである。
• D が正則交差を持つ準射影的多様体 X = X̅ \ D に対して、各成分 D^k の交差行列が定値であれば、解析的芽 H^1(X, C^*)_{(1)} と H^1(X̅, C)_{(0)} は同型である。
• 同じ条件下で、すべての r ≥ 0 に対して、特徴的多様体 V^1_r(X)_{(1)} と共振多様体 R^1_r(X̅)_{(0)} は解析的に同型である。
• この結果により、交差行列が定値である場合、Gysinモデルが単純なcdga (H^*(X̅, C), d=0) に置き換え可能であることが示された。
• この定理は、有理数的二重特異点を持つ曲面（I_k が負定値）、重み付き斉次曲面、およびヘイゼンベルクのニル多様体のような特定の3次元多様体に適用可能である。
• H^1(X̅, C) → H^1(X, C) が同型であるが、芽の同型性が成立しない反例が存在することから、交差形式の定値性条件の必要性が示された。