[論文レビュー] Algebraic structures associated to operads

Loïc Foissy|arXiv (Cornell University)|Feb 17, 2017

Advanced Topics in Algebra参考文献 31被引用数 12

ひとこと要約

本稿は、部分的operad合成を通じて、pre-Lie代数、brace代数、bialgebra、Hopf代数などの代数的構造とoperadを結びつける包括的な枠組みを確立する。任意のoperad Pは、そのcoinvariant商にpre-Lie代数を誘導する。これにより、包あらわし代数と文字のモノイドが得られる。Pがb∞ operadからの準同型を備える場合、さらにcointeracting bialgebraが得られ、Feynman図、poset、有向グラフから得られる既知の例が、一様なoperad的構成によって統一される。

ABSTRACT

We study different algebraic structures associated to an operad and their relations: to any operad $\mathbf{P}$ is attached a bialgebra,the monoid of characters of this bialgebra, the underlying pre-Lie algebra and its enveloping algebra; all of them can be explicitely describedwith the help of the operadic composition. non-commutative versions are also given. We denote by $\mathbf{b\_\infty}$ the operad of $\mathbf{b\_\infty}$ algebras, describing all Hopf algebra structures on a symmetric coalgebra.If there exists an operad morphism from $\mathbf{b\_\infty}$ to $\mathbf{P}$, a pair $(A,B)$ of cointeracting bialgebras is also constructed, that it to say:$B$ is a bialgebra, and $A$ is a graded Hopf algebra in the category of $B$-comodules. Most examples of such pairs (on oriented graphs, posets$\ldots$) known in the literature are shown to be obtained from an operad; colored versions of these examples andother ones, based on Feynman graphs, are introduced and compared.

研究の動機と目的

• 任意のoperadから、operad合成を用いてpre-Lie代数、brace代数、bialgebra、Hopf代数といった代数的構造を体系的に導出すること。
• Feynman図、poset、有向グラフから得られる多様な組合せ的Hopf代数を、一様なoperad的枠組みで統一すること。
• operad準同型θ_P: b∞ → Pが存在する場合、cointeracting bialgebraが得られることを示し、量子場理論および組合せ論における既知の構成を一般化すること。
• 指数写像と包あらわし代数を用いて、文字のモノイドとその群への作用を明示的に実現すること。

提案手法

• operad Pのcoinvariant商におけるpre-Lie積は、部分的operad合成により定義される：p • q = ∑ᵢ p∘ᵢ q（p ∈ P(n), q ∈ P）。
• ∏ₙ≥₀ P(n) 上のモノイド構造◊と◊′は、反復的operad合成を用いて構成され、それらの間には同型が存在する。
• Guin-Oudomの構成により、対称代数S(P)にdendriformおよびHopf代数構造が与えられ、これによりHopf代数D_Pが得られる。
• pre-Lie代数coinv Pの包あらわし代数は、D_Pとして明示的に実現され、S(P)からD_Pへの自然な全射が存在する。
• operad Pが準同型θ_P: b∞ → Pを備える場合、cointeracting bialgebraのペア(A_P, D_P)が得られ、A_PはD_P-コモジュール圏におけるHopf代数である。
• D_P*の文字のモノイドM_D^Pは、A_P*の文字の群G_A^Pに作用し、自由P代数F_P(V)上の恒等写像に接する連続自己準同型の群に同型である。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 operadのoperad合成を用いて、pre-Lie代数やbrace代数といった代数的構造をどのように体系的に導出できるか？
• RQ2 operadに関連するbialgebraの文字のモノイドと、その包あらわし代数の文字の群との間の明確な関係は何か？
• RQ3 operad Pがcointeracting bialgebraのペアを生じるための条件は何か？ これは、量子場理論における既知の構成をどのように一般化するか？
• RQ4 b∞からPへのoperad準同型は、自由P代数上の対称代数およびテンソル代数にどのようにHopf代数構造を誘導するか？
• RQ5 b∞ operadは、対称コモノイド代数上のすべての可能なHopf代数構造を分類するために果たす役割は何か？

主な発見

• 任意のoperad Pのcoinvariant商coinv Pは、部分的operad合成を通じてpre-Lie代数構造を誘導する。積はp • q = ∑ᵢ p∘ᵢ qとして定義される。
• モノイド(P, ◊)と(P, ◊′)は同型であり、それらをcoinvariant関係で商することで、coinc P上にモノイド構造が得られる。
• 対称代数S(P)は、Guin-Oudomの構成によりHopf代数構造を備え、積*は反復的operad合成を用いて明示的に定義される。
• Hopf代数D_Pは、pre-Lie代数coinc Pの包あらわし代数と同型であり、S(P)からD_Pへの自然な全射が存在する。
• 準同型θ_P: b∞ → Pが存在する場合、cointeracting bialgebraのペア(A_P*, D_P*)が得られ、A_P*はD_P*-コモジュール圏におけるHopf代数である。
• D_P*の文字のモノイドM_D^Pは、A_P*の文字の群G_A^Pに作用し、自由P代数F_P(V)上の恒等写像に接する連続自己準同型の群に同型である。