[論文レビュー] Algebraic Theories and (Infinity,1)-Categories

James Cranch|arXiv (Cornell University)|Nov 14, 2010

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 14被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、クーベィーを用いた$(\infty,1)$-圏の代数的枠組みを構築し、Lawvereの代数的理論を一般化してホモトピー的整合性を持つ代数的構造（例えば$E_\infty$モノイドや半環）をモデル化する。クーベィーにおける分配法則の理論を導入し、$E_\infty$環空間をモデル化するとともに、連結スペクトルおよび$K$-理論に対する新しいアプローチを提示し、環スペクトルの単位およびモノイダルクーベィーの$K$-理論に関する既存の結果を再証明する。

ABSTRACT

We adapt the classical framework of algebraic theories to work in the setting of (infinity,1)-categories developed by Joyal and Lurie. This gives a suitable approach for describing highly structured objects from homotopy theory. A central example, treated at length, is the theory of E_infinity spaces: this has a tidy combinatorial description in terms of span diagrams of finite sets. We introduce a theory of distributive laws, allowing us to describe objects with two distributing E_infinity stuctures. From this we produce a theory of E_infinity ring spaces. We also study grouplike objects, and produce theories modelling infinite loop spaces (or connective spectra), and infinite loop spaces with coherent multiplicative structure (or connective ring spectra). We use this to construct the units of a grouplike E_infinity ring space in a natural manner. Lastly we provide a speculative pleasant description of the K-theory of monoidal quasicategories and quasicategories with ring-like structures.

研究の動機と目的

• クーベィーを用いて古典的代数的理論をホモトピー的設定に拡張し、一貫性のある高次のホモトピーを持つ代数的構造をモデル化可能にする。
• Δ-スパン構成を用いたクーベィー的枠組みにおいて、分配法則を介して$E_\infty$モノイドおよび半環をモデル化する。
• 群完備化を用いたクーベィー的理論の群完備化により、連結スペクトルおよび連結環スペクトルの新しいモデルを構築する。
• モノイダルおよび環クーベィーの$K$-理論の枠組みを構築し、Elmendorf-Mandellのアプローチとは異なる代替手段を提供する。
• 新規のクーベィー的形式的体系を用いて、環スペクトルの単位および$K$-理論に関する主要な結果を再提示・再導出する。

提案手法

• $(\infty,1)$-圏のモデルとしてクーベィーを用い、単体的集合を用いたJoyalおよびLurieの$(\infty,1)$-圏理論を活用する。
• Δ-スパンクーベィー$Δ\mathrm{Span}$を導入し、$E_\infty$モノイドをモデル化する。さらに、$Δ\mathrm{RSpan}$を拡張して、分配法則を介した$E_\infty$半環をモデル化する。
• Lawvereの対称モノイダル圏の理論を応用し、可換代数的対象のクーベィー的モデルを構築する。
• $B$-関手を用いて$Ω$-群体の完備化を行い、その後$Q$を用いて群完備化を実行し、クーベィー的理論のモデルの$K$-理論を定義する。
• 随伴関手定理およびクーベィーにおけるホモトピー極限／余極限を用いて、構成の代表可能性および関手的性質を確立する。
• ナーヴ構成およびクーベィーにおける写像シリンダーを用いて、高次の代数的構造および自然変換をモデル化する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 古典的代数的理論は、どのように$(\infty,1)$-圏におけるホモトピー的整合性を持つ代数的構造をモデル化するために一般化可能か？
• RQ2 クーベィー的文脈における分配法則の類似物は何か？ そして、$E_\infty$半環をモデル化するためにどのように利用可能か？
• RQ3 $E_\infty$理論のクーベィー的群完備化を用いて、連結スペクトルおよび連結環スペクトルの新しいモデルを構築可能か？
• RQ4 提案されたモノイダルクーベィーの$K$-理論構成は、Elmendorf-Mandellのフレームワークと比較してどのように異なるか？
• RQ5 本稿のクーベィー的枠組みを用いて、環スペクトルの単位を再構成可能か？ また、Andoらの結果を再現できるか？

主な発見

• 本稿は、Δ-スパン構成における分配法則を用いて、$E_\infty$半環空間をモデル化するクーベィー的理論$Δ\mathrm{RSpan}$を構築した。
• 群完備化を用いたクーベィー的理論の群完備化により、群的$E_\infty$モノイド（連結スペクトル）および$E_\infty$環空間（連結環スペクトル）の新しいモデルを提供した。
• クーベィー的理論のモデル$A: T \to \mathrm{Cat}_\infty$の$K$-理論は$K(A) = Q(B(A))$として定義され、ここで$B$は$\infty$-群体の完備化、$Q$は群完備化である。この構成により、空間値$K$-理論関手が得られる。
• この構成により、$\mathrm{RSpan}$のモデルとしてベクトル空間の$K$-理論が再現され、乗法的$K$-理論のための新しい枠組みが得られた。
• 本稿の枠組みにより、当初Ando, Blumberg, Gepner, Hopkins, Rezkによって示された環スペクトルの単位に関する定理が、クーベィー的手法を用いて再証明された。
• 本稿は、その乗法的$K$-理論構造がElmendorfおよびMandellのものと一致すると予想しているが、完全な一致は未証明である。