[論文レビュー] An explicit Ricci potential for the Universal Moduli Space of Vector Bundles

Jørgen Ellegaard Andersen, Niccolo Skovgård Poulsen|arXiv (Cornell University)|Sep 5, 2016

Geometry and complex manifolds参考文献 9被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、$\bar{\nabla}$-方程式に曲率補正項を追加することで、リーマン面上の安定な正則ベクトル束の普遍モジュライ空間上に明示的なケーラー座標を構成する。リッチポテンシャルの関数的行列式公式を導出し、$ F = \frac{1}{2}\log\frac{\det\Delta_{\text{Ad}E}}{\det\Delta_0} $ が $ 2i\partial\bar{\partial}F = \text{Ric}^{1,1} - \frac{n}{2\pi}\omega_{M'} - \frac{n^2}{12\pi}\omega_{\mathcal{T}} $ を満たすことを示し、リッチ形式のコhomology類を同定する。

ABSTRACT

In this paper we modify the coordinate construction in our previous paper on the universal moduli space of pair consisting of a Riemann Surfaces and a stable holomorphic bundles on the Riemann Surface, so as to produce a new set of coordinates, which are in fact K\" ahler coordinates on this universal moduli space. Further, we give a functional determinant formula for the Ricci potential of the universal moduli space.

研究の動機と目的

• リーマン面上の安定な正則ベクトル束の普遍モジュライ空間 $\mathcal{M}'$ 上に局所ケーラー座標を構成すること。
• 既存の座標系がケーラーでない問題を解消するため、定義方程式に曲率補正項を追加すること。
• ケーラー計量のリッチポテンシャルに対する明示的な関数的行列式公式を導出すること。
• リッチ形式のコhomology類を、ウェイ・ペタースン形式およびセーシャドリ＝アティヤー＝ボット＝ゴールドマンのシンプレクティック形式の観点から同定すること。
• 今後の研究におけるヒチン接続の曲率を計算するための基盤的ツールを提供すること。

提案手法

• 文献[5]の座標構成を修正し、バンドル写像 $\chi^{\mu\oplus\nu}$ の $\bar{\partial}$-方程式に項 $-\frac{1}{2}\tilde{g}^{-1}_X\text{tr}\nu\otimes\nu$ を加えることで、得られる座標がケーラーとなるようにすること。
• 修正された $\chi^{\mu\oplus\nu}$ が、双曲的計量 $\tilde{g}_X$、正則バンドル $E$、および接空間クラス $\mu \in H^1(X,TX)$、$\nu \in H^1(X,\text{End}E)$ を含む $\bar{\partial}$-方程式を満たすことを証明すること。
• 得られる座標 $ (\mu,\nu) \mapsto (\rho^{\mu\oplus\nu}_{\mathbb{H}}, \rho^{\mu\oplus\nu}_E) $ が、自然なシンプレクティック形式 $\omega_{\mathcal{M}'} = p^*_{\mathcal{T}}\omega_{\mathcal{T}} + p^*_{M'}\omega_{M'}$ に関して正則的かつケーラー的であることを確立すること。
• リッチポテンシャルを $ F(\rho_{\mathbb{H}}, \rho_E) = \frac{1}{2}\log\frac{\det\Delta_{\text{Ad}E}}{\det\Delta_0} $ と定義し、ここで $\Delta_0$ および $\Delta_{\text{Ad}E}$ はそれぞれ $X$ および随伴バンドル上のラプラシアンである。
• リーマン面上の変分法およびスペクトル理論を用いて $\partial\bar{\partial}F$ を計算し、ヒートカーネルおよびグリーン関数の解析を通じてリッチ形式とシンプレクティック形式 $\omega_{\mathcal{T}}$、$\omega_{M'}$ を関連付ける。
• ストークスの定理およびトレース恒等式を適用してグリーン関数の変動を簡略化し、曲率補正項が $\text{Ad}E$-捩れラプラシアンおよび双曲的計量に起因することを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ベクトル束の普遍モジュライ空間上の座標系を、単に正則的であるのではなくケーラー的となるように修正できるか？
• RQ2 リーマン面上の安定な正則バンドルのモジュライ空間上でのケーラー計量のリッチポテンシャルに対する明示的な関数的行列式公式は何か？
• RQ3 モジュライ空間 $\mathcal{M}'$ 上のケーラー計量のリッチ形式は、標準的シンプレクティック形式 $\omega_{\mathcal{T}}$ および $\omega_{M'}$ とどのように関係するか？
• RQ4 関数 $ F = \frac{1}{2}\log\frac{\det\Delta_{\text{Ad}E}}{\det\Delta_0} $ は、$\mathcal{M}'_{\mathcal{O}}$、つまり自明な決定因子を持つ安定束のモジュライ空間上でのグローバルなリッチポテンシャルとして機能するか？
• RQ5 決定因子が自明な束のモジュライ空間上でのリッチ形式のコhomology類は何か？

主な発見

• 曲率補正項 $-\frac{1}{2}\tilde{g}^{-1}_X\text{tr}\nu\otimes\nu$ を含む修正された座標系により、$\mathcal{M}'$ 上に局所ケーラー座標が得られる。
• 関数 $ F = \frac{1}{2}\log\frac{\det\Delta_{\text{Ad}E}}{\det\Delta_0} $ は、自明な決定因子を持つ安定束のモジュライ空間 $\mathcal{M}'_{\mathcal{O}}$ 上でのケーラー計量のリッチポテンシャルである。
• リッチ形式は $ 2i\partial\bar{\partial}F = \text{Ric}^{1,1} - \frac{n}{2\pi}\omega_{M'} - \frac{n^2}{12\pi}\omega_{\mathcal{T}} $ を満たし、リッチ形式のコhomology類が明示的に同定される。
• 変形に対する $\log\det\Delta_{\text{Ad}E}$ の変動は、グリーン関数上の $\partial\partial^\prime$-作用の核を通じて計算され、$\bar{L}_{\mu\oplus\nu}$ およびトレースがゼロの自己準同型への射影を含むトレース公式が得られる。
• $\log\det\Delta_0$ の変動は、ウェイ・ペタースン形式と関係し、$ \partial\bar{\partial}\log\det\Delta_0 = \frac{i}{6\pi}\omega_{\mathcal{T}} - \text{tr}((\mu_1\bar{\mu}_2 - \mu_1\partial\Delta_0^{-1}\partial^*\bar{\mu}_2)P_{TX}) $ と表される。これにより座標のケーラー性が確認される。
• リッチ形式のコhomology類は $ \frac{n}{2\pi}\omega_{M'} + \frac{n^2}{12\pi}\omega_{\mathcal{T}} $ であり、今後の研究におけるヒチン接続の曲率計算の中心的役割を果たす。