[论文解读] An Improved Algorithm for Bipartite Correlation Clustering

Nir Ailon, Noa Avigdor-Elgrabli+1 more|arXiv (Cornell University)|Dec 14, 2010

Data Management and Algorithms参考文献 15被引用 5

一句话总结

本文提出了一种新颖的组合算法 PivotBiCluster，用于二分相关聚类，无需求解大规模凸规划即可实现 4-近似。该方法通过使用改进的线性规划分析的随机化pivot方法，将先前最佳已知因子 11 提升，实现了对二分图的高效且可证明接近最优的聚类。

ABSTRACT

Bipartite Correlation clustering is the problem of generating a set of disjoint bi-cliques on a set of nodes while minimizing the symmetric difference to a bipartite input graph. The number or size of the output clusters is not constrained in any way. The best known approximation algorithm for this problem gives a factor of 11. This result and all previous ones involve solving large linear or semi-definite programs which become prohibitive even for modestly sized tasks. In this paper we present an improved factor 4 approximation algorithm to this problem using a simple combinatorial algorithm which does not require solving large convex programs. The analysis extends a method developed by Ailon, Charikar and Alantha in 2008, where a randomized pivoting algorithm was analyzed for obtaining a 3-approximation algorithm for Correlation Clustering, which is the same problem on graphs (not bipartite). The analysis for Correlation Clustering there required defining events for structures containing 3 vertices and using the probability of these events to produce a feasible solution to a dual of a certain natural LP bounding the optimal cost. It is tempting here to use sets of 4 vertices, which are the smallest structures for which contradictions arise for Bipartite Correlation Clustering. This simple idea, however, appears to be evasive. We show that, by modifying the LP, we can analyze algorithms which take into consideration subgraph structures of unbounded size. We believe our techniques are interesting in their own right, and may be used for other problems as well.

研究动机与目标

• 开发一种更高效且实用的二分相关聚类近似算法，避免求解大规模凸规划。
• 在先前声称的 4-近似被发现错误后，提供一个正确且可证明最优的算法，以改进该结果。
• 将相关聚类中使用的随机化 pivot 技术扩展到二分设置，通过改进的 LP 分析实现。
• 通过一种简单且组合式的算法，在与边数线性时间复杂度内实现常数因子近似。
• 通过一种对无界子图结构的新型分析，提供去随机化路径和更广泛的应用潜力。

提出的方法

• 提出 PivotBiCluster，一种基于边密度选择聚类代表节点并概率性地合并或隔离节点的随机化 pivot 算法。
• 使用改进的线性规划（LP）定义对偶变量 β(T) 和 β(𝑇̄)，以界定最优代价，从而支持对无界子图结构的分析。
• 基于事件 X_T 和 X_𝑇̄ 的条件概率分析，根据聚类大小比例和边/非边数量计算期望代价贡献。
• 利用弱对偶性证明 PivotBiCluster 的期望代价至多为对偶变量之和的 4 倍，而该和至多为最优代价的 4 倍。
• 通过聚类大小关系的案例分析推导期望代价界限，利用输入与输出双团之间的对称差。
• 通过分析 4-节点结构并适配对偶 LP 框架，将 2008 年的相关聚类方法扩展到二分情形。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否通过一种简单的组合算法在不求解大规模凸规划的情况下，实现对二分相关聚类的 4-近似？
• RQ2 为何先前声称的 4-近似算法失败？其缺陷如何被纠正？
• RQ3 能否将标准相关聚类中使用的随机化 pivot 方法适配到二分设置，并保证可证明的性能？
• RQ4 是否可以通过修改 LP 公式，对使用无界子图结构的算法进行分析？
• RQ5 能否通过组合技术或 LP 舍入将近似因子进一步提升至 4 以下？

主要发现

• 所提出的 PivotBiCluster 算法在二分相关聚类中实现了 4-近似，优于先前最佳因子 11。
• 该算法避免了求解大规模凸规划，运行时间与边数呈线性关系，适用于大规模图的可扩展性。
• 分析证明，PivotBiCluster 的期望代价至多为最优代价的 4 倍，使用改进的 LP 对偶和弱对偶性。
• 通过重新定义对偶变量并基于聚类大小比例进行条件处理，该方法成功处理了无界子图结构。
• 通过反例验证，先前声称的 4-近似算法被证明是错误的，从而证实了新分析框架的必要性。
• 该方法为去随机化和潜在扩展到具有类似结构约束的其他聚类问题开辟了道路。