[論文レビュー] An optimal control problem for mean-field forward-backward stochastic differential equation with noisy observation

Guangchen Wang, Hua Xiao+1 more|arXiv (Cornell University)|Sep 12, 2015

Stochastic processes and financial applications参考文献 15被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、状態とその期待値に対して線形なドリフト係数を有する、観測にノイズを含む平均場前向き後向き確率微分方程式（MF-FBSDEs）の最適制御フレームワークを開発する。後向き分離法と分解技術を用いて、2つの最適性条件および結合された前向き後向き最適フィルタを導出し、金融工学およびシステミックリスクモデリングにおける線形二次制御問題の閉形式解を可能にする。

ABSTRACT

This article is concerned with an optimal control problem derived by mean-field forward-backward stochastic differential equation with noisy observation, where the drift coefficients of the state equation and the observation equation are linear with respect to the state and its expectation. The control problem is different from the existing literature on optimal control for mean-field stochastic systems, and has more applications in mathematical finance, e.g., asset-liability management problem with recursive utility, systematic risk model. Using a backward separation method with a decomposition technique, two optimality conditions along with two coupled forward-backward optimal filters are derived. Several linear-quadratic optimal control problems for mean-field forward-backward stochastic differential equations are studied. Closed-form optimal solutions are explicitly obtained in detailed situations.

研究の動機と目的

• 部分的（ノイズを含む）観測下における平均場前向き後向き確率微分方程式の最適制御を扱う。状態および観測ダイナミクスが状態とその期待値に対して線形に依存する。
• 既存の文献を拡張し、平均場確率制御にノイズを含む観測を組み込むことで、資産負債管理および再帰的ユーティリティモデルへの応用を可能にする。
• 新規の後向き分離法を用いて、制御問題の必要および十分な最適性条件を導出する。
• 部分的観測下での状態推定を可能にする、2つの結合された前向き後向き最適フィルタを構築する。
• 金融工学およびシステミックリスクモデリングに生じる特定の線形二次（LQ）制御問題に対して明示的な閉形式解を提供する。

提案手法

• ノイズを含む観測下でのMF-FBSDEシステムの前向きおよび後向き成分を分離するため、後向き分離法を適用する。
• 状態とその期待値を分離するための分解技術を用い、平均場項の取り扱いを容易にする。
• 分離および分解の結果を用いて、ノイズを含む観測から状態とその期待値を推定可能な2つの結合された前向き後向き最適フィルタを導出する。
• 最大原理および確率的ハミルトン・ヤコビ・ベルマン（HJB）アプローチを用いて、必要および十分な最適性条件を導出する。
• システムをリッカティ型方程式に簡略化し、それらを閉形式で解くことにより、線形二次（LQ）制御問題を明示的に解く。
• 伊藤の公式、グロワールの不等式、バーグシュタイン＝デイヴィス＝ギュンディーの不等式を用いた厳密な解析により、解のフレームワークを検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 状態の観測がノイズを含む場合、平均場前向き後向き確率微分方程式の最適制御はどのように定式化できるか？
• RQ2 状態とその期待値に対して線形ドリフトを有するこのような制御問題において、必要および十分な最適性条件は何か？
• RQ3 平均場の文脈において、ノイズを含む観測から状態とその期待値を最適に推定する方法は何か？
• RQ4 このフレームワークにおいて、線形二次制御問題の閉形式解を導出できるか？
• RQ5 ノイズを含む平均場設定下での最適フィルタおよび制御則の構造的性質は何か？

主な発見

• 本稿は、ノイズを含む観測および平均場依存性が存在する状況下で、最適制御問題の必要および十分な最適性条件を確立する。
• ノイズを含む観測から状態とその期待値を推定可能な2つの結合された前向き後向き最適フィルタを導出し、部分情報下でのリアルタイム制御を可能にする。
• 線形二次（LQ）制御問題に対して、明示的な閉形式解を取得しており、このフレームワークの取り扱いやすさを示している。
• 解法は、状態とその期待値の後向き分離技術および分解に依存しており、MF-FBSDEシステムの解析を簡略化する。
• 制御の収束に伴う価値関数の収束を証明し、最適制御方策の安定性を保証する。
• 本フレームワークは、再帰的ユーティリティを伴う資産負債管理および銀行間貸し借りにおけるシステミックリスクモデリングといった、実世界の問題に適用可能である。