[論文レビュー] An upper bound on the asymptotic translation lengths on the curve graph and fibered faces

Hyungryul Baik, Hyunshik Shin+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 20, 2018

Geometric and Algebraic Topology参考文献 11被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、第一ベッチ数が2以上のファイバード双曲3次元多様体における擬アノソフモノドロミーの曲線図における漸近的移動長の上界を確立する。ファイバード面の内部点に射影が収束する、ファイバード錐の適切な部分錐内の列を分析することで、著者らは漸近的移動長が $1/|\chi(\Sigma_n)|^{1+1/r}$ で上から抑えられることを示している。ここで $r$ は $\psi_n$-不変ホモロジーの次元である。$b_1(M) = 2$ の場合、これは $1/|\chi(\Sigma_n)|^2$ という鋭い上界を与える。この結果はハンドル体写像類群やホモロジー的拡張率が1である写像類に適用可能である。

ABSTRACT

We study the asymptotic behavior of the asymptotic translation lengths on the curve complexes of pseudo-Anosov monodromies in a fibered cone of a fibered hyperbolic 3-manifold $M$ with $b_1(M) \geq 2$. For a sequence $(Σ_n, ψ_n)$ of fibers and monodromies in the fibered cone, we show that the asymptotic translation length on the curve complex is bounded above by $1/χ(Σ_n)^{1+1/r}$ as long as their projections to the fibered face converge to a point in the interior, where $r$ is the dimension of the $ψ_n$-invariant homology of $Σ_n$ (which is independent of $n$). As a corollary, if $b_1(M) = 2$, the asymptotic translation length on the curve complex of such a sequence of primitive elements behaves like $1/χ(Σ_n)^{2}$. Furthermore, together with a work of E. Hironaka, our theorem can be used to determine the asymptotic behavior of the minimal translation lengths of handlebody mapping class groups and the set of mapping classes with homological dilatation one.

研究の動機と目的

• ファイバード双曲3次元多様体で $b_1(M) \geq 2$ を満たすものについて、擬アノソフモノドロミーの曲線図における漸近的移動長の漸近的挙動を特定すること。
• オイラー特徴標数と $\psi_n$-不変ホモロジーの次元 $r$ に依存する漸近的移動長の上界を確立すること。
• 特にハンドル体写像類群やホモロジー的拡張率が1である写像類に対して、写像類群の部分群における最小移動長に関する先行結果を拡張すること。
• ファイバード面の内部点に収束する列が、境界に収束する列で観察される $1/|\chi|$ の挙動を実現できないことを示すこと。
• $r=1$ の場合に既知の下界と一致する鋭い上界を提供し、すべての $r \geq 1$ に対してその鋭さを予想すること。

提案手法

• 著者らは、次元 $r+1$ の有理部分空間 $L \subset H^1(M)$ 内の原始的整数コホモロジー類によって誘導されるファイバードモノドロミー $(\Sigma_n, \psi_n)$ の列を、ファイバード錐の適切な部分錐 $P$ 内で分析する。
• ファイバード錐の双対錐の幾何と格子射影技術を用いて、格子点と曲線が特定のホモロジー類から離れるスライス $\Omega(b)$ の和集合との距離を評価する。
• 補題8および補題9を適用することで、十分大きな $n$ に対して、原点およびすべての $\Omega(b)$ から距離 $\gtrsim n^{1/r}$ 離れた点 $y$ が存在することを示し、これによりモノドロミーの反復作用の下で曲線が固定された曲線と交わらないことが保証される。この反復回数は $Cn^{1+1/r}$ 回である。
• 曲線図の距離と、$\widetilde{\psi}^{Cn^{1/r}}(\gamma')$ が $\gamma$ と交わらないならば $d_{\mathcal{C}}(\gamma, \psi^{Cn^{1/r}}(\gamma')) = 1$ となる事実を用いることで、漸近的移動長の上界 $l_\alpha \lesssim 2/(Cn^{1+1/r}) \sim |\chi(\Sigma_\alpha)|^{-1-1/r}$ を得る。
• この証明は、不変ホモロジー部分空間における格子の最小長および体積に依存し、格子の退化または非退化がこのような点 $y$ の存在を決定する。
• 結果は、ヒロナカおよびキーン＝シンの既知の構成を用いて、ハンドル体写像類群およびホモロジー的拡張率が1である写像類の集合に適用される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 コホモロジー類がファイバード面の内部点に射影的に収束する場合、ファイバード双曲3次元多様体における擬アノソフモノドロミーの漸近的移動長の漸近的上界は何か？
• RQ2 $\psi_n$-不変ホモロジー部分空間の次元 $r$ は、漸近的移動長の減衰率にどのように影響するか？
• RQ3 上界 $1/|\chi(\Sigma_n)|^{1+1/r}$ は達成可能であり、すべての $r \geq 1$ に対して鋭いか？
• RQ4 ハンドル体写像類群およびホモロジー的拡張率が1である写像類の集合における最小漸近的移動長の漸近的挙動は何か？
• RQ5 ファイバード面の境界に収束する列で観察される $1/|\chi|$ の減衰率は、内部点に収束する列に対しても保持されるか？

主な発見

• 原始的整数クラス $\alpha$ が次元 $r+1$ の有理部分空間 $L$ 内にある場合、それに誘導される擬アノソフモノドロミー $\psi_\alpha$ の漸近的移動長 $l_{\psi_\alpha}$ は、部分錐 $P$ のみに依存する定数 $C = C(P)$ を用いて $C/|\chi(\Sigma_\alpha)|^{1+1/r}$ で上から抑えられる。
• $b_1(M) = 2$ の場合、上界は $1/|\chi(\Sigma_n)|^2$ に単純化され、既知の下界と一致するため、鋭いものである。
• ファイバード錐内の2次元有理部分空間における列に対して、ハンドル体写像類群における最小漸近的移動長は $L_{\mathcal{C}}(\mathcal{H}_g) \asymp 1/g^2$ を満たす。これはキーン＝シンによる結果の新たな証明を提供する。
• 同様に、ホモロジー的拡張率が1である写像類の集合 $\Delta_g$ に対しても、最小漸近的移動長は $L_{\mathcal{C}}(\Delta_g) \asymp 1/g^2$ を満たし、再び既知の漸近的レートと一致する。
• 上界 $1/|\chi|^{1+1/r}$ はすべての $r \geq 1$ に対して鋭いと予想されており、$r=1$ の場合、ガーナルカレク＝ティオッツォによる下界によりその鋭さが既に知られている。
• この結果は、ファイバード面の内部点に収束する列が、境界に収束する列で観察される $1/|\chi|$ の減衰を示さないことを示唆しており、ヒロナカらの既知の例とも整合的である。