[論文レビュー] Analogs of Cuntz algebras on Lp spaces

N. Christopher Phillips|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2014

Advanced Operator Algebra Research参考文献 15被引用数 18

ひとこと要約

本稿は、$p \in [1, \infty)$ および $d \geq 2$ の場合に、$L^p$ 空間上で作用する Cuntz代数の類似物として、新しいバナッハ代数のクラス $\mathcal{O}_d^p$ を導入する。この代数の一意性、単純性、純粋無限性、アメーブル性を確立し、そのトポロジカルK理論を計算する。$p_1 \neq p_2$ のとき $\mathcal{O}_{p_1}^{d_1} \not\cong \mathcal{O}_{p_2}^{d_2}$ であることを示し、同一の超自然数を持つが、構造的およびK理論的性質に特徴を持つ $L^p$ UHF代数の類似物を構成する。

ABSTRACT

Graph algebras have been intensively studied in the C* and purely algebraic contexts. We propose another context: Banach algebras of operators on Lp spaces. We report on results on the analogs in this context of Cuntz algebras and UHF algebras. (The analogs of UHF algebras are needed for the proofs of some of the results on the analogs of Cuntz algebras.) For p ∈ [1, ∞) and d ∈ {2, 3, . . .}, we identify a “good” analog Odp of the Cuntz algebra Od which acts on spaces of the form Lp(X,μ). We prove uniqueness and simplicity of Odp. Unlike the C* case, these two results seem to be independent, and our proofs of the two results are entirely unrelated. We further prove that Odp is purely infinite and amenable as a Banach algebra, and we compute its topological K-theory, getting the expected answer. We prove that for d1,d2 ∈ {2,3,...} and for p1 ≠ p2, there is no nonzero continuous homomorphism from Op1 to Op2. We leave a number of problems open. In particular, we do pd1d2pp p not know whether the L spatial tensor product O2 ⊗p O2 is isomorphic to O2 for p ̸= 2. We prove that the “good” Lp analogs of UHF algebras are unique in a suitable sense, simple, amenable, have a unique continuous trace, and have the expected K-theory. We show that for each p and each supernatural number, there are uncountably many mutually nonisomorphic Lp UHF algebras with the same supernatural number and having all the properties given above except uniqueness and amenability. This talk will be primarily a survey, but will explain some of the key ideas.

研究の動機と目的

• バナッハ代数が $L^p$ 空間上で作用する文脈において、Cuntz代数の類似物を定義し、それらを研究すること。
• $d \geq 2$ および $p \in [1, \infty)$ の場合に、$L^p$ 類似物 $\mathcal{O}_d^p$ の一意性と単純性を確立すること。
• $L^p$ UHF代数類似物の構造を調査し、それらの一意性、単純性、およびアメーブル性を検討すること。
• $\mathcal{O}_d^p$ のトポロジカルK理論を計算し、$K_0 = \mathbb{Z}/(d-1)\mathbb{Z}$ および $K_1 = 0$ が期待通りに一致することを確認すること。
• $p_1 \neq p_2$ のとき $\mathcal{O}_{p_1}^{d_1}$ と $\mathcal{O}_{p_2}^{d_2}$ が同型でないことを示し、同一の超自然数を持つが、互いに同型でない $L^p$ UHF代数が非可算個存在することを調べること。

提案手法

• $\mathcal{O}_d^p$ を、測度 $\mu$ を持つ空間 $X$ 上の $L^p(X, \mu)$ 上の $d$ 個の等距作用素から生成されるバナッハ代数として構成し、それらの範囲が直交し、和が恒等作用素に一致するようにする。
• $L^p$ 設定に適応された作用素代数的技法を用い、$p$-バナッハ代数構造およびスペクトル解析を含む。
• $L^p$ 作用素代数の圏における普遍性を用いて、$\mathcal{O}_d^p$ の一意性を証明する。
• >$C^*$-ケースとは異なり、トレースやイデアル構造に依存しない直接的アプローチにより、単純性を証明する。
• >$\mathcal{O}_d^p$ のアメーブル性を、有界近似恒等元の構成とバナッハ代数コhomology技法を用いて確立する。
• $K$-理論的不変量をバナッハ代数に適応した手法を用いてトポロジカルK理論を計算し、$K_0(\mathcal{O}_d^p) \cong \mathbb{Z}/(d-1)\mathbb{Z}$ および $K_1(\mathcal{O}_d^p) = 0$ を示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $p \in [1, \infty)$ の場合に、$L^p$ 作用素代数の文脈における Cuntz代数 $\mathcal{O}_d$ の正しい類似物は何か？
• RQ2 $L^p$ 類似物 $\mathcal{O}_d^p$ は一意的かつ単純であるか？ これらは $C^*$-ケースと同様に独立して成り立つか？
• RQ3 $\mathcal{O}_d^p$ のトポロジカルK理論は何か？ これは $C^*$-代数 $\mathcal{O}_d$ のK理論と一致するか？
• RQ4 $p_1 \neq p_2$ のとき、$\mathcal{O}_{p_1}^{d_1}$ から $\mathcal{O}_{p_2}^{d_2}$ への非自明な連続準同型は存在するか？
• RQ5 同一の超自然数を持つ $L^p$ UHF代数はどれだけの非同型類が存在するか？ それらはどのような構造的性質を共有するか？

主な発見

• $L^p$ 類似物 $\mathcal{O}_d^p$ は、$L^p$ 作用素代数の圏において普遍性によって一意に特徴付けられる。
• $d \geq 2$ および $p \in [1, \infty)$ のすべての $p$ に対して、$\mathcal{O}_d^p$ はバナッハ代数として単純かつ純粋無限である。
• $\mathcal{O}_d^p$ はバナッハ代数としてアメーブルであり、有界近似恒等元を持つ。
• $\mathcal{O}_d^p$ のトポロジカルK理論は $K_0(\mathcal{O}_d^p) \cong \mathbb{Z}/(d-1)\mathbb{Z}$ および $K_1(\mathcal{O}_d^p) = 0$ であり、$C^*$-ケースと一致する。
• $p_1 \neq p_2$ のとき、$\mathcal{O}_{p_1}^{d_1}$ から $\mathcal{O}_{p_2}^{d_2}$ への非自明な連続準同型は存在しない。これは代数的構造が $p$ に強く依存していることを示唆する。
• 各 $p$ および超自然数に対して、同一の超自然数を持つが、互いに同型でない非可算個の $L^p$ UHF代数が存在する。それらは単純性、一意連続トレース、期待されるK理論を共有するが、一意性やアメーブル性は共有しない。