[論文レビュー] Analytic Functional Bootstrap for CFTs in $d>1$

Miguel F. Paulos|arXiv (Cornell University)|Dec 14, 2019

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 45被引用数 12

ひとこと要約

本稿では、任意の時空次元における conformal field theories (CFT) の交差方程式に作用する解析的関数型を導入し、OPE、光円錐、Regge極限を精密に探査可能にする。2種類の関数型を提案する：一般化自由場および接触相互作用のブートストラップに適した HPPS 型関数型、およびイジング模型エネルギー相関関数など extremal 解に双対な d=2 の積関数型。これにより、OPE密度の最適な境界が得られ、d=2 の交差方程式の数値的に優れた再定式化が可能となる。

ABSTRACT

We introduce analytic functionals which act on the crossing equation for CFTs in arbitrary spacetime dimension. The functionals fully probe the constraints of crossing symmetry on the first sheet, and are in particular sensitive to the OPE, (double) lightcone and Regge limits. Compatibility with the crossing equation imposes constraints on the functional kernels which we study in detail. We then introduce two simple classes of functionals. The first class has a simple action on generalized free fields and their deformations and can be used to bootstrap AdS contact interactions in general dimension. The second class is obtained by tensoring holomorphic and antiholomorphic copies of $d=1$ functionals which have been considered recently. They are dual to simple solutions to crossing in $d=2$ which include the energy correlator of the Ising model. We show how these functionals lead to optimal bounds on the OPE density of $d=2$ CFTs and argue that they provide an equivalent rewriting of the $d=2$ crossing equation which is better suited for numeric computations than current approaches.

研究の動機と目的

• 任意の時空次元における CFT の交差対称性制約を完全に探査できる一般化された解析的関数型の枠組みを構築すること。
• 一般化自由場やイジング模型の相関関数など、スパarsなまたは extremal 解に対応する関数型を構築し、完全性および正定値性を保証すること。
• 1次元関数型のテンソル積を用いて、d=2 の交差方程式の数値的効率性を高める再定式化を提供すること。
• 特に二重光円錐および Regge 極限において、交差対称性と整合する関数型カーネルに必要な制約を導出すること。
• HPPS 手法と新たな関数型クラスとの間の関係を確立し、それらの等価性とより優れた解析的構造を示すこと。

提案手法

• d>1 における交差方程式に作用する解析的関数型を導入し、正則性および交差対称性によって制約されたカーネルを用いる。
• 2つのクラスを提案する：1次元関数型基底から構築される HPPS 関数型（一般次元 d における一般化自由場および接触相互作用のブートストラップに適している）。
• d=2 の積関数型は、正則および反正則な 1次元関数型のテンソル積として構成され、d=2 のブロック変換性質 G∆,ℓ(z,¯z) = e^{iπτ/2} G∆,ℓ(z/(z−1), ¯z) を活用する。
• 留数積分および解析接続を用いて関数型作用を導出し、 conformal block 展開および交差と整合することを保証する。
• 正規直交化された 1次元関数型 (αn, βn) を用いて、OPE データを制約する和則を生成し、最適な境界を導出する。
• 二重光円錐極限からのカーネル制約を用い、特に d=4 への拡張において無限遠での十分なカーネルの減衰を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 任意の時空次元における CFT の交差対称性を完全に探査できる解析的関数型を体系的に構築する方法は何か？
• RQ2 交差方程式と整合するための関数型カーネルに必要な十分条件は何か。特に二重光円錐および Regge 極限において。
• RQ3 d=2 の積関数型は、1次元関数型から構成可能か。具体的には、イジング模型エネルギー相関関数のような既知の extremal 解に対応するか。
• RQ4 これらの関数型は、従来の手法と比較して、OPE データの数値的収束性を向上させ、より鋭い境界をもたらすか。
• RQ5 d=4 への積関数型構成を拡張するにはどのような修正が必要か。完全性および正定値性の障害は何か。

主な発見

• HPPS 関数型が一般化自由場およびその摂動変形に対応することを示し、任意次元における AdS 表面相互作用のブートストラップが可能になる。
• d=2 の積関数型は、正則および反正則な 1次元関数型のテンソル積として構成され、d=2 の交差方程式の数値計算に適した再定式化を実現する。
• これらの積関数型は、2次元イジング模型の ⟨εεεε⟩ 相関関数に対応し、関数型作用が既知の extremal 解を再現する。
• 積関数型の関数型作用は、d=2 CFT における OPE 密度に対して最適な境界をもたらし、境界はイジング模型の値で飽和する。
• d=4 においては、積関数型構成は、修正されたカーネル（例：減算された β− および α− 関数型）を用いることで可能になるが、正定値性および完全性が損なわれる。
• 本稿では、HPPS 関数型が元の HPPS 手法と等価であり、二重光円錐極限からのより良い解析的性質およびカーネル制約が導出されることを確立した。