[论文解读] Annihilation and creation operators in non-Hermitian supersymmetric quantum mechanics

Miloslav Znojil|ArXiv.org|Dec 1, 2000

Quantum Mechanics and Non-Hermitian Physics参考文献 1被引用 6

一句话总结

本文通过引入复坐标平移来正则化 D>1 维中的奇异离心势垒，将 Witten 的超对称量子力学推广至非厄米、PT 对称的谐振子系统。它构建了新型的二阶微分形式的产生与湮灭算符，保持能谱结构并实现形状不变的超对称性，关键结果表明能谱平滑且非等间距，即使在非整数 α ≠ 0,1,2,… 时，态之间的映射依然稳定。

ABSTRACT

Harmonic oscillators with a centrifugal spike are analysed, via a non-Hermitian regularization, within a complexified SUSY quantum mechanics. The formalism enables us to construct the factorized creation and annihilation operators. We show how the real though, generically, non-equidistant spectrum complies with the current SUSY-type isospectrality and degeneracy in an unusual way.

研究动机与目标

• 将 Witten 的超对称量子力学推广至具有离心势垒的高维奇异谐振子系统。
• 通过复坐标平移实现的 PT 对称正则化，解决标准超对称性在奇异势场中失效的问题。
• 为非厄米、形状不变的系统构建一致的产生与湮灭算符框架，其能谱非等间距。
• 证明 PT 对称性可保持实离散能谱，并在存在奇异性的条件下实现稳定的态映射。
• 阐明准宇称 β = ±α 的作用，以及在非整数 α 时简并性的缺失如何塑造超对称结构。

提出的方法

• 引入复坐标平移 r = x − iε，以正则化 D > 1 维谐振子中的奇异离心势能。
• 定义 PT 对称哈密顿量 H^(α)，其中 α = (D−2)/2 + ℓ + ω > 0，通过 PT 对称性确保实离散谱。
• 利用算符 A^(γ) 和 B^(γ) 构造形状不变的超对称性，实现哈密顿量 H^(α) 与 H^(α±1) 之间的映射，参数发生偏移。
• 推导二阶微分算符 A(α) 与 A†(α)，作为一阶超电荷的乘积，实现能级间的跃迁。
• 使用合流超几何函数求解径向薛定谔方程，并为非厄米系统定义类似范数的伪范数。
• 实施极限过程 ε → 0，以恢复厄米情形，同时在非整数 α 时保持谱结构不变。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何在 D > 1 维中一致地将超对称性推广至非厄米、尖锐谐振子系统？
• RQ2 复坐标平移在正则化奇异势能的同时，如何保持实谱？
• RQ3 与标准谐振子相比，非等间距、非厄米系统中的产生与湮灭算符有何不同？
• RQ4 在非整数 α 和非整数 β = ±α 的条件下，超对称伙伴哈密顿量在何种条件下仍保持等谱？
• RQ5 在非整数 α ≠ 0,1,2,… 的 PT 对称系统中，形状不变的超对称性是否可被保持？

主要发现

• 通过复坐标平移 r = x − iε 实现的 PT 对称正则化，对所有 α > 0 均保持能级的实离散性。
• 产生与湮灭算符被构造为二阶微分算符 A(α) 与 A†(α)，其矩阵元为 c₅(n,β) = −4√[(n+1)(n+β+1)]，用于能级间的跃迁。
• 对于非整数 α ≠ 0,1,2,…，超对称性保持未破缺且形状不变，左右伙伴基态之间的映射稳定。
• 算符 A(α) 与 A†(α) 在 α = 1/2 附近光滑，经变换 r = exp(2y 后，退化为一阶微分形式，对应类似Morse的哈密顿量。
• 即使在负 β 情况下，最低态在 H_(L) 与 H_(R) 伙伴中仍保持可归一化，表明非等间距谱中无自发对称性破缺。
• 在整数 α 时，出现例外点并具有若尔当块结构，但这些情形被排除在主分析之外，以保持谱的非简并性。