[论文解读] Approximating Dynamic Time Warping and Edit Distance for a Pair of Point Sequences

Pankaj K. Agarwal, Kyle Fox+2 more|arXiv (Cornell University)|Dec 7, 2015

Time Series Analysis and Forecasting被引用 8

一句话总结

该论文首次提出了在 ℝᵈ 中具有良好行为的点序列上，针对动态时间规整（DTW）和编辑距离（ED）的亚二次时间近似算法，通过几何划分减少动态规划表条目数量。对于 κ-紧凑和 κ-有界曲线，该算法在近乎线性时间内实现 (1+ε)-近似；对于主干序列，运行时间在亚二次时间范围内，利用空间特性优化计算。

ABSTRACT

We give the first subquadratic-time approximation schemes for dynamic time warping (DTW) and edit distance (ED) of several natural families of point sequences in $\mathbb{R}^d$, for any fixed $d \ge 1$. In particular, our algorithms compute $(1+\varepsilon)$-approximations of DTW and ED in time near-linear for point sequences drawn from k-packed or k-bounded curves, and subquadratic for backbone sequences. Roughly speaking, a curve is $κ$-packed if the length of its intersection with any ball of radius $r$ is at most $κ\cdot r$, and a curve is $κ$-bounded if the sub-curve between two curve points does not go too far from the two points compared to the distance between the two points. In backbone sequences, consecutive points are spaced at approximately equal distances apart, and no two points lie very close together. Recent results suggest that a subquadratic algorithm for DTW or ED is unlikely for an arbitrary pair of point sequences even for $d=1$. Our algorithms work by constructing a small set of rectangular regions that cover the entries of the dynamic programming table commonly used for these distance measures. The weights of entries inside each rectangle are roughly the same, so we are able to use efficient procedures to approximately compute the cheapest paths through these rectangles.

研究动机与目标

• 为 ℝᵈ 中的点序列开发高效的 (1+ε)-近似算法，以解决 DTW 和 ED 问题，其中精确计算在 SETH 假设下已知为近乎二次时间复杂度。
• 通过利用输入序列的几何特性，缓解动态规划表的计算瓶颈。
• 针对自然轨迹类别（如 κ-紧凑、κ-有界和主干序列）实现近乎线性或亚二次时间复杂度的运行时间。
• 使真实应用场景中的相似性计算可扩展，例如 GPS 轨迹、触摸屏操作模式和时间序列分析。

提出的方法

• 构建基于四叉树的平面分层分解，将点分组为彼此分离良好的点对。
• 在动态规划表中定义矩形区域，其中条目权重近似均匀，从而实现高效近似。
• 使用完全二叉树维护并查询每个矩形内的最小成本路径，每次操作时间复杂度为 O(log n)。
• 应用几何约束条件——κ-紧凑、κ-有界和主干特性——以限制需访问的相关表条目数量。
• 利用曲线规则性导致边界条目数量 |∂U| 较少的事实，确保高效更新与查询。
• 通过利用空间局部性和曲线结构，减少需处理的动态规划表条目数量，从而实现亚二次性能。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于具有自然几何结构的 ℝᵈ 中点序列，是否可在亚二次时间内计算 (1+ε)-近似 DTW 和 ED？
• RQ2 点序列的哪些几何特性可显著减少需处理的动态规划表条目数量？
• RQ3 是否可能在 ℝᵈ 中对 κ-紧凑或 κ-有界曲线实现 DTW 和 ED 的近乎线性时间算法？
• RQ4 该方法能否扩展至主干序列，以在高维空间中实现亚二次算法？
• RQ5 是否存在更广泛的几何优化问题，可通过基于输入几何结构的类似表条目缩减技术求解？

主要发现

• 对于 ℝᵈ 中的 κ-紧凑和 κ-有界曲线，该算法在固定 ε 和 d 的情况下，以 O(n log n) 时间复杂度实现 (1+ε)-近似，运行时间近乎线性。
• 对于主干序列，该算法在最优参数设置下运行时间为 O(n^{2-1/(d+1)})，属于亚二次时间复杂度。
• 相关动态规划表条目数量分别受 O(κ/ε n)（κ-紧凑）、O(κᵈ/εᵈ n)（κ-有界）和 O(n^{2-1/(d+1)}/ε^{1-1/(d+1)})（主干序列）的界约束。
• 使用完全二叉树数据结构可实现 O(log n) 时间复杂度的高效更新与查询，用于维护通过矩形区域的最小路径成本。
• 通过利用几何约束条件，该方法显著减少了需处理的表条目数量，使大规模序列的可扩展性成为可能。
• 在 SETH 假设下，理论界是紧致的，证实对于任意序列，亚二次算法极不可能存在，从而合理化了对结构化输入的关注。