[论文解读] Approximation Algorithms for the Incremental Knapsack Problem via Disjunctive Programming

Daniel Bienstock, Jay Sethuraman+1 more|arXiv (Cornell University)|Nov 18, 2013

Optimization and Search Problems参考文献 10被引用 11

一句话总结

本文提出了一种针对容量随时间增长的增量背包问题（IK）的常数因子近似算法，利用不相交规划处理跨时间段的物品选择。此外，当时间范围 T 为 O(√log N) 时，还为时间不变情形（IIK）提供了 PTAS，通过猜测最值物品并结合具有有界配置枚举的多面体松弛，实现了固定 ε 下的 (1−ε)-近似，且时间复杂度为多项式时间。

ABSTRACT

In the incremental knapsack problem ($\IK$), we are given a knapsack whose capacity grows weakly as a function of time. There is a time horizon of $T$ periods and the capacity of the knapsack is $B_t$ in period $t$ for $t = 1, \ldots, T$. We are also given a set $S$ of $N$ items to be placed in the knapsack. Item $i$ has a value of $v_i$ and a weight of $w_i$ that is independent of the time period. At any time period $t$, the sum of the weights of the items in the knapsack cannot exceed the knapsack capacity $B_t$. Moreover, once an item is placed in the knapsack, it cannot be removed from the knapsack at a later time period. We seek to maximize the sum of (discounted) knapsack values over time subject to the capacity constraints. We first give a constant factor approximation algorithm for $\IK$, under mild restrictions on the growth rate of $B_t$ (the constant factor depends on the growth rate). We then give a PTAS for $\IIK$, the special case of $\IK$ with no discounting, when $T = O(\sqrt{\log N})$.

研究动机与目标

• 为增量背包问题（IK）设计一种多项式时间近似算法，其中背包容量随时间弱增长。
• 在时间范围 T 为 O(√log N) 的约束下，为时间不变的增量背包问题（IIK）提供 PTAS。
• 通过将增量子集和问题的前期工作推广至任意物品价值与权重，实现一般化。
• 通过新颖的不相交规划框架，解决在动态容量设置下不可逆物品放置的挑战。
• 通过引入基于配置的线性规划松弛与舍入方法，填补增量组合优化近似算法中的空白。

提出的方法

• 猜测最优解中最具价值的物品 h，然后将注意力限制在 S^h（价值 ≤ v_h 的物品）中。
• 对物品价值进行舍入，以创建一个修改后的实例，通过离散变量 σ^k_t ∈ {0, 1, ..., J} 实现有界配置枚举，其中 J = ⌈1/ε⌉。
• 定义多面体 Q^{σ,h}，以捕捉跨时间段的可行物品分配配置，强制执行单调性（物品不可被移除）和容量约束。
• 在 Q^{σ,h} 上使用线性规划松弛计算分数解，然后通过舍入获得整数可行解。
• 通过取所有猜测 h 和配置 σ 下所有可行多面体 Q^{σ,h} 的并集，构建一个不相交规划，确保覆盖最优解空间。
• 证明对于每个 Q^{σ,h}，可在多项式时间内计算出 (1−ε)-近似解，从而整体问题的近似比为 (1−ε)^2。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在不施加对容量增长速率 B_t 的限制性假设下，为增量背包问题（IK）设计一种常数因子近似算法？
• RQ2 当时间范围 T 为任意值时，时间不变的增量背包问题（IIK）是否存在 PTAS？
• RQ3 该方法能否推广至背包问题之外的其他增量组合优化问题？
• RQ4 在不可逆物品选择的动态背包设置下，近似质量与计算复杂度之间的权衡是什么？
• RQ5 所需 LP 数量如何随 ε 和 T 变化？在何种条件下其保持为多项式？

主要发现

• 本文在 B_t 增长速率的温和假设下，为 IK 提供了一种常数因子近似算法，近似因子取决于增长速率。
• 对于时间不变情形（IIK），当 T = O(√log N) 时，实现了 PTAS，且对固定 ε，所需 LP 数量在 N 上为多项式。
• 在不相交过程中考虑的多面体 Q^{σ,h} 的数量被限制为 O(N(1/ε + T)^{O(log(T/ε)/ε²)})，当 T = O(√log N) 时，该数量在 N 上为多项式。
• 对于每个可行多面体 Q^{σ,h}，可在多项式时间内计算出 (1−ε)-近似解，从而确保整体解与最优值的差距在 (1−ε)^2 以内。
• 该方法保证最优解被包含在多面体 Q^{σ,h} 的并集中，从而通过枚举与舍入实现有效近似。
• 与 Hartline 和 Sharp 的前期工作相比，本方法将结果推广至一般价值与权重，并提供了更具普适性的近似框架。