[论文解读] Approximation of grammar-based compression via recompression

Artur Jeż|arXiv (Cornell University)|Jan 24, 2013

Algorithms and Data Compression参考文献 13被引用 15

一句话总结

本文提出了一种简单、线性时间的算法，为任意输入字符串构造上下文无关文法，其大小为 $\mathcal{O}(g\log(N/g))$，其中 $N$ 为字符串长度，$g$ 为最优文法的大小。该方法新颖地应用了重压缩技术，无需依赖 LZ77 或推导树平衡，实现了接近最优的近似比，且算法复杂度极低。

ABSTRACT

In this paper we present a simple linear-time algorithm constructing a context-free grammar of size O(g log(N/g)) for the input string, where N is the size of the input string and g the size of the optimal grammar generating this string. The algorithm works for arbitrary size alphabets, but the running time is linear assuming that the alphabet Σof the input string can be identified with numbers from {1, ..., N^c} for some constant c. Otherwise, additional cost of O(n log|Σ|) is needed. Algorithms with such approximation guarantees and running time are known, the novelty of this paper is a particular simplicity of the algorithm as well as the analysis of the algorithm, which uses a general technique of recompression recently introduced by the author. Furthermore, contrary to the previous results, this work does not use the LZ representation of the input string in the construction, nor in the analysis.

研究动机与目标

• 开发一种简单、高效的文法压缩算法，近似求解给定字符串的最小可能文法。
• 在不依赖 LZ77 或平衡树结构的前提下，实现 $\mathcal{O}(g\log(N/g))$ 的近似比。
• 通过引入一种基于重压缩的新框架，简化文法压缩的分析与实现。
• 在标准字母表表示假设下，证明该算法在线性时间内运行。

提出的方法

• 该算法使用一种重压缩技术，反复将符号对替换为新的非终结符，同时在整个过程中保持压缩表示。
• 它引入一种标记系统，用于追踪引入新非终结符的成本，并确保为未来操作保留足够的信用。
• 该方法避免显式使用 LZ77 或平衡推导树（如 AVL 树或长度平衡树），与先前方法不同。
• 它采用基于信用的会计系统，以控制文法构造的总成本，确保最终文法大小保持在 $\mathcal{O}(g\log(N/g))$ 以内。
• 该算法按阶段处理字符串，迭代减少当前表示的长度，同时保证每阶段的代价有界。
• 分析依赖于对块大小对数之和以及引入块数的有界性，利用重压缩过程的性质。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否设计一种基于文法压缩的算法，以比以往方法更简单的方式，在线性时间内实现 $\mathcal{O}(g\log(N/g))$ 的近似比？
• RQ2 是否可能在文法压缩算法的构造与分析中避免使用 LZ77 或平衡树结构？
• RQ3 重压缩技术能否被适配以对最小文法问题提供紧致的近似保证？
• RQ4 在基于信用的会计系统下，重压缩框架中文法大小的最小额外开销是多少？

主要发现

• 该算法为任意长度为 $N$ 的输入字符串构造出大小为 $\mathcal{O}(g\log(N/g))$ 的文法，其中 $g$ 为最优文法的大小。
• 在字母表可表示为 $\{1,\ldots,N^c\}$ 中整数的假设下，运行时间为 $N$ 的线性函数。
• 若无法假设字母表以这种方式数值表示，则需额外花费 $\mathcal{O}(n\log|\Sigma|)$ 的代价。
• 该方法不依赖 LZ77 或推导树平衡（如 AVL 树或长度平衡树），与先前工作形成鲜明区别。
• 基于信用的分析确保引入新非终结符的总代价被限制在 $\mathcal{O}(g + g\log(N/g))$ 以内。
• 最终文法大小被保证在最优值的 $\mathcal{O}(g\log(N/g))$ 范围内，且该界通过使用重压缩的简洁统一分析实现。