[論文レビュー] Arithmetic and Hyperbolic Structures in String Theory

Daniel Persson|arXiv (Cornell University)|Jan 19, 2010

advanced mathematical theories参考文献 258被引用数 11

ひとこと要約

この論文は、超弦理論における隠れた対称性を、双曲的カク・ムーディ代数と算術群を通じて調査し、M理論の compactification における宇宙論的ビリヤード力学が $E_{10}$ や関連する双曲的構造によって支配されることを示している。$E_{10}$-不変な測地的シグマ模型を構築し、タイプIIの compactification における量子補正が、$SU(2,1;\mathbb{Z}[i])$ の下で自動形式（特にアイゼンスタイン級数）として現れることを特定した。そのフーリエ展開は、D2-およびNS5-ブレーンのインスタントン寄与と一致する。

ABSTRACT

This monograph is an updated and extended version of the author's PhD thesis. It consists of an introductory text followed by two separate parts which are loosely related but may be read independently of each other. In Part I we analyze certain hyperbolic structures arising when studying gravity in the vicinity of a spacelike singularity (the "BKL-limit"). In this limit, spatial points decouple and the dynamics exhibits ultralocal behaviour which may be described in terms of a (possibly chaotic) hyperbolic billiard. In all supergravities arising as low-energy limits of string theory or M-theory, the billiard dynamics takes place within the fundamental Weyl chambers of certain hyperbolic Kac-Moody algebras, suggesting that these algebras generate hidden infinite-dimensional symmetries of the theory. Part II of the thesis is devoted to a study of how (U-)dualities in string theory provide powerful constraints on perturbative and non-perturbative quantum corrections. These dualities are described by certain arithmetic groups G(Z) which are conjectured to be preserved in the effective action. The exact couplings are given by automorphic forms on the double quotient G(Z)\G/K. We discuss in detail various methods of constructing automorphic forms, with particular emphasis on non-holomorphic Eisenstein series. We provide detailed examples for the physically relevant cases of SL(2,Z) and SL(3,Z), for which we construct their respective Eisenstein series and compute their (non-abelian) Fourier expansions. We also show how these techniques can be applied to hypermultiplet moduli spaces in type II Calabi-Yau compactifications, and we provide a detailed analysis for the universal hypermultiplet.

研究の動機と目的

• 時空的特異点の近傍における重力の BKL 制限において、双曲的カク・ムーディ代数（例：$E_{10}$）が隠れた対称性としてどのように出現するかを理解すること。
• 双曲的カク・ムーディ群 $E_{10}$ に対して不変な測地的シグマ模型を構築し、11次元およびタイプIIスーパーラグランジアンの力学とその整合性を検証すること。
• U duality 群（例：$SL(2,\mathbb{Z})$、$SL(3,\mathbb{Z})$、$SU(2,1;\mathbb{Z}[i])$）が自動形式を通じてストリング理論における量子補正をどのように制約するかを分析すること。
• $SL(2,\mathbb{Z})$ および $SL(3,\mathbb{Z})$ の非アーベルフーリエ展開を計算し、それらがハイパーマトリックスモジュライ空間において物理的に意味を持つことの証明。
• カラビ＝ヤウ compactification におけるユニバーサルハイパーマトリックスが、$SU(2,1;\mathbb{Z}[i])$-不変アイゼンスタイン級数に従うと提唱し、そのフーリエモードが D2-および NS5-ブレーンインスタントン効果を符号化することを示すこと。

提案手法

• 重力の BKL 制限を分析し、空間的点の分離が超局所的力学に帰着され、ローレンツ的カク・ムーディ代数の基本ウェイルチャネル内の双曲的ビリヤードに写像されることを示した。
• $E_{10}/K(E_{10})$ 上の測地的シグマ模型を構築し、全 $E_{10}$ 群に対して不変な作用を定義し、その力学をスーパーラグランジアン方程式と比較した。
• $G(\mathbb{Z})\backslash G/K$ 上の自動形式の理論を用いて、有効作用における正確な結合を記述し、非正則アイゼンスタイン級数に焦点を当てた。
• ラングランズプログラムを用いて、$SL(2,\mathbb{Z})$ および $SL(3,\mathbb{Z})$ のアイゼンスタイン級数を構築し、非アーベルフーリエ展開を計算してインスタントン寄与を抽出した。
• タイプII compactification におけるユニバーサルハイパーマトリックスモジュライ空間が $SU(2,1;\mathbb{Z}[i])$ 対称性を有すると提唱し、$SU(2,1;\mathbb{Z}[i])$-不変アイゼンスタイン級数を構築した。
• このアイゼンスタイン級数の非アーベルフーリエ展開が、量子有効作用における期待される D2-および NS5-ブレーンインスタントン寄与を再現することを検証した。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 M理論の時空的特異点近傍における宇宙論的ビリヤード力学において、双曲的カク・ムーディ代数（例：$E_{10}$）がどのように隠れた対称性として出現するか？
• RQ2 超対称性 $E_{10}$ に対して不変な測地的シグマ模型が、11次元およびタイプIIスーパーラグランジアンの力学をどの程度再現するか？
• RQ3 ストリング理論における量子補正が、$G(\mathbb{Z})\backslash G/K$ 上の自動形式によって完全に記述可能であるか？そのフーリエ展開はブレーンインスタントンをどのように符号化するか？
• RQ4 ピカールモジュラー群 $SU(2,1;\mathbb{Z}[i])$ は、カラビ＝ヤウ compactification におけるユニバーサルハイパーマトリックスの量子モジュライ空間において果たす役割は何か？
• RQ5 非正則アイゼンスタイン級数（$SL(2,\mathbb{Z})$ および $SL(3,\mathbb{Z})$）は、有効作用における摂動的および非摂動的補正をどのように符号化するか？

主な発見

• M理論およびタイプIIスーパーラグランジアンにおける宇宙論的ビリヤード力学は、$E_{10}$ カク・ムーディ代数に関連する双曲的コックスター群によって支配されており、基本ウェイルチャネルが混沌とした BKL 制限を符号化している。
• $E_{10}/K(E_{10})$ 上の測地的シグマ模型が構築され、11次元およびタイプIIスーパーラグランジアンの運動方程式が展開の特定の次数まで再現されていることが示された。
• ストリング理論の有効作用における正確な結合は、$G(\mathbb{Z})\backslash G/K$ 上の自動形式によって記述され、非正則アイゼンスタイン級数が $SL(2,\mathbb{Z})$ および $SL(3,\mathbb{Z})$ に対して体系的な構成を提供している。
• $SL(2,\mathbb{Z})$ アイゼンスタイン級数の非アーベルフーリエ展開は、タイプIIB有効作用における D1-インスタントンおよび D3-インスタントン寄与を正しく捉えている。
• ユニバーサルハイパーマトリックスに対して、提案された $SU(2,1;\mathbb{Z}[i])$-不変アイゼンスタイン級数は、期待される D2-ブレーンおよび NS5-ブレーンインスタントン寄与と一致するフーリエ展開を示し、量子双対性対称性の明確な実現を提供している。
• この構成により、ユニバーサルハイパーマトリックスの完全な量子理論がピカールモジュラー群 $SU(2,1;\mathbb{Z}[i])$ に対して不変であることが確認され、ハイパーマトリックスモジュライ空間における既知の双対性対称性が拡張された。