[論文レビュー] Around the Mordell-Lang and Manin-Mumford conjectures in positive characteristic

Cyrille Corpet|arXiv (Cornell University)|Dec 20, 2012

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 9被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、形式的冪級数体上の半アーベル多様体について、正標数において、Manin-Mumford予想がMordell-Lang予想を含意することを確立する。離散付値環上の整数的モデルとジェット層を用いて、平行移動後の捩れ点が部分多様体においてザリスキー稠密でないならば、有限生成部分群のpと互いに素な部分との交わりは稠密にはならないことを証明する。これにより、この設定においてMordell-Lang予想をManin-Mumford予想から導く。

ABSTRACT

We give a complete proof for the implication from the Manin-Mumford conjecture to the Mordell-Lang conjecture in positive characteristic, using integral models of semi-abelian varieties over a ring of formal power series, and the machinery of jet schemes.

研究の動機と目的

• 正標数において、形式的冪級数体上の半アーベル多様体に対して、Manin-Mumford予想からMordell-Lang予想への含意を確立すること。
• 以前の証明で用いられたモデル理論的手法を避けて、純粋に代数幾何学的証明を提供すること。
• Rösslerの結果を拡張し、底体や部分群構造に対する制限を除去すること。
• 形式的冪級数環上の半アーベル多様体の整数的モデルとジェット層を用いて、捩れ点および可除点の稠密性を分析すること。

提案手法

• 有限残差体をもつ完全な離散付値環上での半アーベル多様体の整数的モデルを構成する。
• ジェット層と臨界点の理論を用いて、形式的近傍における捩れ点および可除点の挙動を分析する。
• 補題1.2の$ζ$関数を用いて、$p$のべき乗を法とする点の上げ上げをジェット空間構成に関連付ける。
• 例外集合$\operatorname{Exc}^\alpha({\mathcal{X}}^{+Q})$を、$\mathcal{X}^{+Q}$に属する点で、ジェット層において$p^\alpha$-捩れ点に上げ上がるものとして定義する。
• 捩れ点が平行移動後に非稠密であるという仮定の下で、例外集合が真の部分多様体であることを証明する。
• $\widetilde{\mathcal{A}}(\widetilde{S})$上の$R$-位相におけるコンパクトネスを用いて、すべての$Q \in \Gamma$に対して一様な境界$\alpha$を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 正標数において、形式的冪級数体上の半アーベル多様体に対して、Manin-Mumford予想はMordell-Lang予想を含意するか？
• RQ2 Mordell-Lang予想は、モデル理論的手法を避けて、純粋に代数幾何学的道具のみを用いて証明可能か？
• RQ3 すべての$Q$に対して$\operatorname{Exc}^\alpha({\mathcal{X}}^{+Q})$が真の部分多様体となるような一様な境界$\alpha$が存在するか？
• RQ4 ジェット層と整数的モデルの特別なファイバーの構造を用いて、$X \cap \Gamma'$の稠密性を制御可能か？

主な発見

• 正標数におけるMordell-Lang予想は、形式的冪級数体への還元を経て、Manin-Mumford予想から導かれる。
• 証明では、すべての$Q \in \Gamma$に対して$\operatorname{Exc}^\alpha({\mathcal{X}}^{+Q}) \subsetneq {\mathcal{X}}^{+Q}$となる一様な境界$\alpha$を構成する。
• 仮定のもとで、任意の体拡張$L'/L$と任意の$Q \in A(L')$に対して、$X^{+Q} \cap \operatorname{Tor}(A(L'))$がザリスキー稠密でないならば、$X \cap \Gamma'$は$X$においてザリスキー稠密でない。
• 証明はモデル理論を避け、$\overline{\mathbb{F}}_q((t))$上の整数的モデルとジェット層を用いた純粋に代数幾何学的議論を提供する。
• $\Gamma' / p^\alpha \Gamma'$の代表元$Q_1, \dots, Q_k$の有限集合があれば、$X \cap \zeta(\Gamma')$は有限個の真の部分多様体の平行移動で被覆可能である。
• ザリスキー閉包$\overline{X \cap \Gamma'}$の次元は、$\dim X$より厳密に小さい。なぜなら、これは真の部分多様体の有限個の和集合に含まれるからである。