[論文レビュー] Asymptotics of partial sums of central binomial coefficients and Catalan numbers

Sandro Mattarei|arXiv (Cornell University)|Jun 23, 2009

Advanced Combinatorial Mathematics参考文献 4被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、母関数とダーボウの方法を用いて、中心二項係数およびカタラン数の部分和の高次漸近展開を導出する。また、有限体における生成関数の切断形に対して、素数のべきを法とする閉形式を提供し、初等的なべき級数の操作と特異的 p のファンクター環の同型を用いて、新たな合同式を得る。

ABSTRACT

We prove exact asymptotic expansions for the partial sums of the sequences of central binomial coefficients and Catalan numbers, $\sum_{k=0}^n \binom{2k}{k}$ and $\sum_{k=0}^n C_n$. We also obtain closed forms for the polynomials $\sum_{k=0}^{q-1}\binom{2k}{k}x^k$ and $\sum_{k=0}^{q-1}C_kx^k$ over the field of $p$ elements, where $q$ is a power of the prime $p$.

研究の動機と目的

• 既知の一次項推定値 4^{n+1}/(3√(πn)) を超える、部分和 ∑ₖ₌₀ⁿ binom(2k,k) および ∑ₖ₌₀ⁿ Cₖ の漸近的性質を精緻化すること。
• 係数抽出にダーボウの方法を用いた母関数を用いて、正確な漸近展開を導出すること。
• q を素数 p のべきとするとき、有限体の特性 p 上で ∑ₖ₌₀^{q-1} binom(2k,k)x^k および ∑ₖ₌₀^{q-1} Cₖx^k の閉形式表現を確立すること。
• 初等的な母関数技法と恒等式 (1+x)^q ≡ 1+x^q mod p を用いて、これらの和について既知の p-進合同式を再導出すること。

提案手法

• 中心二項係数の母関数として 1/sqrt(1-4x) と、カタラン数の母関数として (1-sqrt(1-4x))/(2x) を使用すること。
• 部分和の母関数を z=4x の置換により 1/sqrt(1-z) * 4/(4-z) に変換すること。
• 支配的特異点 z=1 におけるプアウアッス級数展開から、ダーボウの補題を適用して漸近展開を抽出すること。
• 無限級数を素数 p を法とする有限多項式に還元するために、恒等式 (1-4x)^q ≡ 1 - (4x)^q mod p を用いること。
• ファンクター環の同型 (1+x)^q ≡ 1 + x^q mod p を活用し、切断された母関数の合同式を導出すること。
• 得られた多項式に x=1 を代入することで、部分和の p を法とする合同式を得ること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ∑ₖ₌₀ⁿ binom(2k,k) および ∑ₖ₌₀ⁿ Cₖ の、既知の一次項推定値 4^{n+1}/(3√(πn)) を超える高次漸近展開は何か？
• RQ2 q を素数 p のべきとするとき、F_q 上で ∑ₖ₌₀^{q-1} binom(2k,k)x^k および ∑ₖ₌₀^{q-1} Cₖx^k の閉形式表現は得られるか？
• RQ3 初等的な母関数の操作と有限体の恒等式のみを用いて、既知の p-進合同式を再導出できるか？
• RQ4 生成関数 ∑ₖ₌₀^{q-1} binom(2k,k)x^k を p を法として見たときの構造は何か？また、(1-4x)^{(q-1)/2} とどのように関係するか？

主な発見

• 部分和 ∑ₖ₌₀ⁿ binom(2k,k) は、漸近展開 4^{n+1}/(3√(πn)) × (1 + 1/(24n) + 59/(384n²) + 2425/(9216n³) + O(n⁻⁴)) を持つ。
• 部分和 ∑ₖ₌₀ⁿ Cₖ は、漸近展開 4^{n+1}/(3n√(πn)) × (1 + 1/(24n) + 59/(384n²) + 2425/(9216n³) + O(n⁻⁴)) を持つ。
• F_p 上で、q を奇素数 p のべきとするとき、多項式 ∑ₖ₌₀^{q-1} binom(2k,k)x^k ≡ (1-4x)^{(q-1)/2} mod p が成り立つ。
• F_p 上で、q を奇素数 p のべきとするとき、多項式 ∑ₖ₌₀^{q-1} Cₖx^k ≡ (1 - (1-4x)^{(q+1)/2})/(2x) - x^{q-1} mod p が成り立つ。
• 上記の多項式に x=1 を代入すると、合同式 ∑ₖ₌₀^{q-1} binom(2k,k) ≡ (3^{(q-1)/2} - 1)/2 mod p および ∑ₖ₌₀^{q-1} Cₖ ≡ (3(q/3) - 1)/2 mod p が得られる。ここで (q/3) はリーマン記号である。
• 演算子 xD を繰り返し適用することで、k^m binom(2k,k) および k^m Cₖ を含む和に対しても同様の方法が拡張され、p を法とする既知の結果が再現される。