[論文レビュー] Automorphisms of the semigroup of endomorphisms of free algebras of homogeneous varieties

Ruvim Lipyanski|arXiv (Cornell University)|Nov 27, 2005

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 16被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、R¹ MF-ドメイン上の同次的多様体における自由代数の自己準同型半群の自己同型を特徴づけ、すべての自己同型が準内部的であることを示し、無限体上での先行結果を一般化する。主な貢献は、[21]の問題5.1を解明することであり、自由リー代数の準内部的自己同型構造をR¹ MF-ドメイン上で証明し、普遍代数的幾何学における行列半群とカテゴリカル同値に応用する。

ABSTRACT

We consider homogeneous varieties of linear algebras over an associative-commutative ring K with 1, i.e., the varieties in which free algebras are graded. Let F be a free algebra of some variety A of linear algebras over K freely generated by a finite set X, EndF be the semigroup of endomorphisms of F, and AutEndF be the group of automorphisms of the semigroup EndF. We investigate structure of the group AutEndF and its relation to the algebraical and categorical equivalence of algebras from A. We define a wide class of R1MF-domains containing, in particular, Bezout domains, unique factorization domains, and some other domains. We show that every automorphism of semigroup EndF, where F is a free finitely generated Lie algebra over an R1MF-domain, is semi-inner. This solves the Problem 5.1 left open in [21]. As a corollary, semi-innerity of all automorphism of the category of free Lie algebras over R1MF-domains is obtained. Relations between categorical and geometrical equivalence of Lie algebras over R1MF-domains are clarified. The group AutEndF for the variety of m-nilpotent associative algebras over R1MF-domains is described. As a consequence, a complete description of the group of automorphisms of the full matrix semigroup of n x n matrices over R1MF-domains is obtained. We give an example of the variety of linear algebras over a Dedekind domain such that not all automorphisms of AutEndF are quasi-inner. The results obtained generalize the previous studies of various special cases of varieties of linear algebras over infinite fields.

研究の動機と目的

• R¹ MF-ドメイン上の同次的多様体における自由代数 $F$ に対して、自己準同型半群 $\mathrm{End}\,F$ の自己同型群を記述すること。
• [21]の問題5.1を解き、自由リー代数の自己同型が環上で未解決のまま残っていた問題を解決すること。
• R¹ MF-ドメイン上のリー代数のカテゴリカル同値と幾何的同値の関係を、$\mathrm{End}\,F$ の自己同型構造を通じて明確にすること。
• 無限体からより広い環のクラス（ベズー環および一意因数分解環を含む）への自己準同型半群の自己同型に関する先行結果を一般化すること。
• $m$-ノルム代数の自己同型群 $\mathrm{Aut}\,\mathrm{End}\,F$ を完全に記述し、R¹ MF-ドメイン上の全行列半群に帰結を導くこと。

提案手法

• R¹ MF-ドメインのクラスを導入する。これは、商体上のランク1行列が外積として分解可能な環であり、体や一意因数分解環を一般化する。
• 準内部的自己同型の概念を用いる。これは、$s: F \to F$ が $s(a+b) = s(a)+s(b)$、$s(\xi a) = \varphi(\xi)s(a)$、$s(ab) = \alpha s(a)s(b)$ を満たす（$\alpha \neq 0$、$\varphi \in \mathrm{Aut}\,K$）または逆順の積バージョンである。
• 自己同型の安定的および内部的成分への構造的分解を用い、$\mathrm{Aut}\,\mathrm{End}\,F$ を分析する。
• 対称多項式（例：$g(x_1,x_2) = x_1x_2 + x_2x_1$）を用いて明示的な自己同型を構成し、$m$-ノルム代数における $p$-準内部的および $p$-ミラー自己同型を実現する。
• $m=2$ のとき、$F_2$ における積は自明になるため、$\mathrm{End}\,F_2$ のすべての自己同型は必ず準内部的であり、行列半群の結果が導かれる。
• ガロア対応および自由な有限生成代数の圏 $\Theta^0$ を用い、自己同型群をカテゴリカル同値および幾何的同値に関連付ける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 R¹ MF-ドメイン上の自由リー代数 $F$ に対して、$\mathrm{End}\,F$ のすべての自己同型が準内部的であるか？
• RQ2 $m$-ノルム代数の自己同型群 $\mathrm{Aut}\,\mathrm{End}\,F$ は、基底環 $K$ の濃度および特徴量に依存するか？
• RQ3 R¹ MF-ドメイン上のリー代数のカテゴリカル同値と幾何的同値の関係は、$\mathrm{Aut}\,\mathrm{End}\,F$ によってどのように規定されるか？
• RQ4 全行列半群 $M_n(K)$ の自己同型群は、適切な多様体における自由代数 $F$ の $\mathrm{End}\,F$ の自己同型を通じて完全に記述可能か？
• RQ5 デデキンド環上での多様体において、$\mathrm{End}\,F$ のすべての自己同型が準内部的でない例は存在するか？

主な発見

• R¹ MF-ドメイン上の自由リー代数 $F$ に対して、$\mathrm{End}\,F$ のすべての自己同型は準内部的である。これは[21]の問題5.1を解決する。
• $m$-ノルム代数の自己同型群 $\mathrm{Aut}\,\mathrm{End}\,F_m$ は、環のサイズおよび特徴量に応じて、準内部的、$p$-準内部的、ミラー、$p$-ミラー自己同型によって生成される。
• $m=2$ のとき、$F_2$ における積は自明であり、$\mathrm{End}\,F_2$ のすべての自己同型は準内部的である。これにより、任意のR¹ MF-ドメイン $K$ に対して、$M_n(K)$ のすべての自己同型が準内部的であることが結論づけられる。
• 有限体 $\mathbb{F}_2$ 上の3-ノルム代数の多様体において、反例を構成し、$2$-内部的および $2$-ミラー自己同型の存在を示した。これにより、一般にはすべての自己同型が準内部的でないことが証明された。
• R¹ MF-ドメイン上の自由な有限生成リー代数の圏 $\Theta^0$ に対する自己同型群 $\mathrm{Aut}\,\Theta^0$ は、安定的および内部的自己同型の合成により、すべてが準内部的であることが示された。
• 本論文は、$\mathrm{End}\,F$ の準内部的自己同型が、圏 $\Theta^0$ の準内部的自己同型を誘導することを確立し、自己準同型群の構造とカテゴリカル同値の関係を結びつけた。