[论文解读] Batching and Optimal Multi-stage Bipartite Allocations

Yiding Feng, Rad Niazadeh|arXiv (Cornell University)|Nov 29, 2022

Optimization and Search Problems被引用 7

一句话总结

本文提出了一种针对 $K$ 阶顶点加权二分图匹配中批量处理的最优 $\left(1 - (1 - 1/K)^K\right)$-竞争分数匹配算法，通过在凸规划中使用一系列递减次数的多项式作为严格拟凹正则化项。该方法在各阶段平衡了贪婪策略与对未来的防范策略，并通过一种新颖的多阶段对偶-对偶框架与凸对偶性，建立了紧致的竞争比，进一步扩展至流媒体平台中具有自由处置权的配置分配问题。

ABSTRACT

In several applications of real-time matching of demand to supply in online marketplaces, the platform allows for some latency to batch the demand and improve the efficiency. Motivated by these applications, we study the optimal trade-off between batching and inefficiency under adversarial arrival. As our base model, we consider K-stage variants of the vertex weighted b-matching in the adversarial setting, where online vertices arrive stage-wise and in K batches -- in contrast to online arrival. Our main result for this problem is an optimal (1-(1-1/K)^K)- competitive (fractional) matching algorithm, improving the classic (1-1/e) competitive ratio bound known for its online variant (Mehta et al., 2007; Aggarwal et al., 2011). We also extend this result to the rich model of multi-stage configuration allocation with free-disposals (Devanur et al., 2016), which is motivated by the display advertising in video streaming platforms. Our main technique is developing tools to vary the trade-off between "greedy-ness" and "hedging" of the algorithm across stages. We rely on a particular family of convex-programming based matchings that distribute the demand in a specifically balanced way among supply in different stages, while carefully modifying the balancedness of the resulting matching across stages. More precisely, we identify a sequence of polynomials with decreasing degrees to be used as strictly concave regularizers of the maximum weight matching linear program to form these convex programs. At each stage, our algorithm returns the corresponding regularized optimal solution as the matching of this stage (by solving the convex program). Using structural properties of these convex programs and recursively connecting the regularizers together, we develop a new multi-stage primal-dual framework to analyze the competitive ratio. We further show this algorithm is optimally competitive.

研究动机与目标

• 设计一种在实时在线市场中实现批处理延迟与匹配低效性之间最优权衡的机制。
• 将经典的在线顶点加权二分图匹配问题扩展至具有 $K$ 个阶段在线顶点到达的多阶段批量处理模型。
• 开发一种竞争性分数匹配算法，通过定制化的正则化项在凸规划中实现各阶段贪婪性与防范策略的平衡。
• 通过对偶分析与上界实例构造，为基本模型与扩展的配置分配模型建立紧致的竞争比边界。
• 将该框架扩展至具有自由处置权的多阶段配置分配问题，以建模流媒体平台中的视频广告分配。

提出的方法

• 在最大权重匹配的凸规划公式中，使用一系列严格拟凹正则化项（源自递减次数的多项式）来平衡各阶段的分配。
• 在每个阶段 $k$，将正则化凸规划的最优解计算为该阶段的分数匹配结果。
• 利用正则化凸规划最优解的递归结构分解，对底层图进行分解，以支持多阶段对偶-对偶分析。
• 应用凸对偶性分析扩展的配置分配模型，其中图分解不可行，从而实现直接的对偶-对偶分析。
• 引入价格层级正则化方法，以处理离线端的异质权重，允许在配置分配中对每个价格层级分别进行正则化。
• 通过均匀排列构造随机上界实例，以证明竞争比 $1 - (1 - 1/K)^K$ 的最优性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在具有批量处理的 $K$ 阶顶点加权二分图匹配问题中，可达到的最优竞争比是多少？
• RQ2 如何在各阶段平衡贪婪分配与未来防范策略，以最大化匹配效率？
• RQ3 即使在无权图情况下，竞争比 $1 - (1 - 1/K)^K$ 是否仍可实现并被证明为最优？
• RQ4 该框架如何扩展至具有自由处置权的多阶段配置分配问题，以应用于视频广告？
• RQ5 凸对偶性与正则化凸规划在支持复杂约束下多阶段分配的对偶-对偶分析中起到何种作用？

主要发现

• 所提出的分数匹配算法实现了 $1 - (1 - 1/K)^K$ 的竞争比，优于经典在线匹配算法的 $1 - 1/e$ 上限。
• 竞争比 $1 - (1 - 1/K)^K$ 是最优的，通过构造一个随机上界实例证明：任何算法均无法超越此竞争比。
• 使用递减次数的多项式正则化项，可在各阶段实现贪婪性与防范策略之间的可控权衡，确保分配的均衡性。
• 多阶段对偶-对偶框架基于正则化凸规划最优解的递归分解构建，支持紧致的竞争比分析。
• 在具有自由处置权的配置分配中，该方法引入价格层级正则化，并利用凸对偶性实现无需图分解的对偶-对偶分析。
• 该框架具有通用性，可应用于现实世界场景，如流媒体平台中的视频广告投放，既提升了效率又不损失竞争力。