[论文解读] Best of Two Local Models: Local Centralized and Local Distributed Algorithms

Guy Even, Moti Medina+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 16, 2014

Complexity and Algorithms in Graphs参考文献 24被引用 15

一句话总结

本文提出了一种确定性、无状态的集中式本地算法，用于在有界度图中求解最大独立集、最大匹配以及近似最大（加权）匹配问题，通过利用分布式本地算法和无环图定向，实现了 poly(log* n) 的探测复杂度。主要贡献是将集中式本地计算与分布式计算之间建立了一种新型归约，从而得到具有次对数探测复杂度的改进确定性算法，并提出了一种新的分布式最大匹配算法，其时间复杂度为 O(log* n) 轮。

ABSTRACT

We consider two models of computation: centralized local algorithms and local distributed algorithms. Algorithms in one model are adapted to the other model to obtain improved algorithms. Distributed vertex coloring is employed to design improved centralized local algorithms for: maximal independent set, maximal matching, and an approximation scheme for maximum (weighted) matching over bounded degree graphs. The improvement is threefold: the algorithms are deterministic, stateless, and the number of probes grows polynomially in $\log^* n$, where $n$ is the number of vertices of the input graph. The recursive centralized local improvement technique by Nguyen and Onak~\cite{onak2008} is employed to obtain an improved distributed approximation scheme for maximum (weighted) matching. The improvement is twofold: we reduce the number of rounds from $O(\log n)$ to $O(\log^*n)$ for a wide range of instances and, our algorithms are deterministic rather than randomized.

研究动机与目标

• 设计用于基础图问题的确定性、无状态集中式本地算法，且探测复杂度为次线性。
• 通过将探测复杂度降低至 poly(log* n)，改进先前的随机化或有状态算法。
• 在集中式本地计算与分布式本地计算模型之间建立双向联系。
• 实现最大匹配的确定性分布式算法，时间复杂度为 O(log* n) 轮，优于先前的 O(log n) 上限。
• 证明有界可达性的无环定向可作为本地计算中的强大原 primitive。

提出的方法

• 通过受 Nguyen 和 Onak（2008）启发的递归改进技术，将分布式本地算法适配为设计集中式本地算法。
• 使用具有有界可达性的无环图定向作为核心子程序，以控制集中式本地算法中的探测复杂度。
• 利用源自分布式算法的局部顶点着色技术，构建有界可达性定向。
• 应用递归改进框架，将次线性近似算法转化为确定性分布式算法。
• 利用集中式本地算法的洞察，将分布式最大匹配算法的轮数从 O(log n) 降低至 O(log* n)。
• 证明任何在 o(log* n) 轮内计算有界可达性无环定向的算法，其半径必然无界，从而确立了该界为紧致。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否利用分布式本地算法来设计图问题（如MIS和匹配）的更优集中式本地算法？
• RQ2 是否可能实现探测复杂度为 poly(log* n) 的确定性、无状态集中式本地算法？
• RQ3 能否将次线性近似中的递归改进技术适配为生成确定性分布式算法？
• RQ4 计算具有有界可达性的无环定向所需的最少轮数是多少？
• RQ5 能否在不将 log* n 放入指数位置的情况下，对集中式本地算法的探测复杂度进行有界控制？

主要发现

• 本文首次提出针对最大独立集、最大匹配以及近似最大（加权）匹配问题的确定性、无状态集中式本地算法，其探测复杂度为 poly(log* n)。
• 所提集中式本地算法的探测复杂度被限制在 Δ^rad(A) 内，其中 rad(A) 为探测半径，且分析过程避免了将 log* n 置于指数位置。
• 提出一种新的分布式最大匹配算法，其时间复杂度为 O(Δ^O(1/ε) + (1/ε²)·log* n) 轮，优于先前的 O(log n) 上限。
• 本文证明 o(log* n) 轮不足以计算出仅依赖于 Δ 的有界半径的无环定向，从而确立了 Θ(log* n) 为紧致的轮数复杂度。
• 从集中式本地计算到分布式计算的归约，使得首次实现最大匹配的确定性分布式算法，且时间复杂度为 O(log* n) 轮。
• 使用具有有界可达性的无环定向作为子程序，相较于以往方法（如随机顶点排名），在实现低探测复杂度方面更为有效。