[論文レビュー] Bi-Lagrangian structures and Teichmüller theory

Brice Loustau, Andrew Sanders|arXiv (Cornell University)|Aug 30, 2017

Geometric and Algebraic Topology参考文献 24被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、実解析的ケーラー多様体の複素化が自然に複素双ラグランジュ構造を備えることを示すことにより、双ラグランジュ（パラケーラー）幾何とテイヒミュラー理論の間に深い接点を確立する。この枠組みを曲面の幾何構造のモジュライ空間に適用し、テイヒミュラー理論の既知の結果——例えばウェイリ・ペトリソン計量やテイヒミュラー空間上のアフィン構造——を微分幾何学的道具立ての形式的帰結として導出する。

ABSTRACT

In this paper, we review or introduce several differential structures on manifolds in the general setting of real and complex differential geometry, and apply this study to Teichmüller theory. We focus on bi-Lagrangian i.e. para-Kähler structures, which consist of a symplectic form and a pair of transverse Lagrangian foliations. We prove in particular that the complexification of a real-analytic Kähler manifold has a natural complex bi-Lagrangian structure. We then specialize to moduli spaces of geometric structures on closed surfaces, and show that old and new geometric features of these spaces are formal consequences of the general theory. We also gain clarity on several well-known results of Teichmüller theory by deriving them from pure differential geometric machinery.

研究の動機と目的

• テイヒミュラー理論における幾何的構造を、双ラグランジュ（パラケーラー）幾何の枠組みを用いて統一的かつ明確化すること。
• 実解析的ケーラー多様体の複素化が自然に複素双ラグランジュ構造を備えることを確立すること。
• ウェイリ・ペトリソン計量やアフィン構造といったテイヒミュラー理論の古典的結果を、シンプレクティック幾何およびパラ複素幾何の視点から再解釈すること。
• 複素双ラグランジュ構造の理論——複素ボット接続および二重複素ケーラー構造を含む——を導入・発展させること。
• ケーラー多様体の複素化におけるハイパーカレル構造の存在と性質を検討し、フェイクス＝カレディンのハイパーカレル構造と対比すること。

提案手法

• シンプレクティック形式の自然な拡張とラグランジュ的 foliation を用いて、実解析的ケーラー多様体の複素化上に双ラグランジュ構造を構成する。
• 複素ラグランジュ的 foliation に適合したボット接続を定義し、それを完全なシンプレクティック接続へ拡張する。
• 二重複素数を用いて複素双ラグランジュ幾何の代数的構造を特徴づけ、二重複素ケーラー構造の定義を可能にする。
• $\mathbb{C}P^1$ の複素化上での、ラグランジュ的 foliation 沿いの垂直平行移動を用いた、ほぼハイパーカレル構造の明示的計算。
• $N^c = \mathbb{C}P^1 \times \overline{\mathbb{C}P^1}$ 上での微分幾何的計算により、計量 $g$、複素構造 $I, J, K$、シンプレクティック形式 $\omega_I, \omega_J, \omega_K$ を導出する。
• 得られたハイパーカレル構造をフェイクス＝カレディンのハイパーカレル構造と比較し、$\omega_J$ が閉じていないことから、構造が可積分でないことを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 実解析的ケーラー多様体の複素化は、自然に複素双ラグランジュ構造を備えているか？
• RQ2 テイヒミュラー理論の古典的結果——ウェイリ・ペトリソン計量やアフィン構造など——は、双ラグランジュ幾何から導出可能か？
• RQ3 ケーラー多様体の複素化上でのハイパーカレル構造の性質は何か？ そしてフェイクス＝カレディンのハイパーカレル構造とどのように対比されるか？
• RQ4 複素双ラグランジュ接続および二重複素ケーラー構造は、複素化された設定において、実幾何およびパラ複素幾何をどのように一般化するか？
• RQ5 $\mathbb{C}P^1 \times \overline{\mathbb{C}P^1}$ 上のほぼハイパーカレル構造は可積分か？ また、$\omega_J$ の非閉じ性はどのような役割を果たすか？

主な発見

• 実解析的ケーラー多様体の複素化は、自然に複素双ラグランジュ構造を備え、シンプレクティック形式および二つの横断的ラグランジュ的 foliation が実構造から自然に拡張される。
• テイヒミュラー空間上のウェイリ・ペトリソン計量は、双ラグランジュ接続およびモジュライ空間上の誘導されたアフィン構造の形式的帰結として生じる。
• 複素射影構造の変形空間 $\mathcal{CP}(S)$ は、その背後にあるモジュライ空間の双ラグランジュ幾何に由来する、標準的なアフィンバンドル構造を備える。
• 複素化された $\mathbb{C}P^1$ 上での垂直葉に沿った平行移動は明示的に計算され、端点のみに依存し、$1 + z_0 w_0$ を含む正則因子に依存することが示される。
• $N^c = \mathbb{C}P^1 \times \overline{\mathbb{C}P^1}$ 上でのほぼハイパーカレル構造は明示的に構成され、$\omega_J$ が閉じていないことから、可積分でないことが示され、レビチヴィタ接続が $J$ を保存しないことが示唆される。
• 得られた計量および複素構造は、フェイクス＝カレディンのハイパーカレル構造とは異なり、$\omega_J$ が閉じていない一方で、$\omega_I$ および $\omega_K$ は閉じており、$\omega_0^c = \omega_I - i\omega_K$ を満たす。