[论文解读] Bipartite Matching in Nearly-linear Time on Moderately Dense Graphs

Jan van den Brand, Yin-Tat Lee+6 more|arXiv (Cornell University)|Sep 3, 2020

Complexity and Algorithms in Graphs参考文献 71被引用 12

一句话总结

本文提出了一种随机化算法，在中等密度图上以 $Õ(m + n^{1.5})$ 的时间复杂度求解最大基数二分图匹配问题，首次在几十年来实现了对经典 $O(m ilde{O}(n^{1.5}))$ 和 $\widetilde{O}(n^\omega)$ 边界近乎线性时间的改进。该方法结合了新颖的原始-对偶内点法与动态显式展开分解及高能边采样技术，实现了更快的收敛速度和高效的迭代维护。

ABSTRACT

We present an $ ilde O(m+n^{1.5})$-time randomized algorithm for maximum cardinality bipartite matching and related problems (e.g. transshipment, negative-weight shortest paths, and optimal transport) on $m$-edge, $n$-node graphs. For maximum cardinality bipartite matching on moderately dense graphs, i.e. $m = Ω(n^{1.5})$, our algorithm runs in time nearly linear in the input size and constitutes the first improvement over the classic $O(m\sqrt{n})$-time [Dinic 1970; Hopcroft-Karp 1971; Karzanov 1973] and $ ilde O(n^ω)$-time algorithms [Ibarra-Moran 1981; Mucha-Sankowski 2004] (where currently $ω\approx 2.373$). On sparser graphs, i.e. when $m = n^{9/8 + δ}$ for any constant $δ>0$, our result improves upon the recent advances of [Madry 2013] and [Liu-Sidford 2020b, 2020a] which achieve an $ ilde O(m^{4/3+o(1)})$ runtime. We obtain these results by combining and advancing recent lines of research in interior point methods (IPMs) and dynamic graph algorithms. First, we simplify and improve the IPM of [v.d.Brand-Lee-Sidford-Song 2020], providing a general primal-dual IPM framework and new sampling-based techniques for handling infeasibility induced by approximate linear system solvers. Second, we provide a simple sublinear-time algorithm for detecting and sampling high-energy edges in electric flows on expanders and show that when combined with recent advances in dynamic expander decompositions, this yields efficient data structures for maintaining the iterates of both [v.d.Brand et al.] and our new IPMs. Combining this general machinery yields a simpler $ ilde O(n \sqrt{m})$ time algorithm for matching based on the logarithmic barrier function, and our state-of-the-art $ ilde O(m+n^{1.5})$ time algorithm for matching based on the [Lee-Sidford 2014] barrier (as regularized in [v.d.Brand et al.]).

研究动机与目标

• 克服最大基数二分图匹配问题长期存在的 $O(m\sqrt{n})$ 和 $\widetilde{O}(n^\omega)$ 时间瓶颈。
• 为满足 $m = \Omega(n^{1.5})$ 的中等密度图设计更快的算法，实现近乎线性时间复杂度。
• 统一并推进内点法与动态图算法在组合优化领域的最新进展。
• 将该算法扩展至相关问题，如转送问题、带负权边的最短路径问题以及最优运输问题。
• 为原始-对偶内点法提供一个通用框架，能够稳健处理近似线性求解器带来的不可行性问题。

提出的方法

• 提出一种通用的原始-对偶内点法（IPM）框架，引入一种基于采样的新技术，以管理近似线性系统求解器引发的不可行性问题。
• 设计一种亚线性时间算法，用于在展开图上的电流传导中检测并采样高能边。
• 整合近期在动态展开图分解方面的进展，以维护IPM迭代的高效数据结构。
• 将新IPM框架应用于对数障碍函数与Lee-Sidford障碍函数，分别实现 $\widetilde{O}(n\sqrt{m})$ 和 $\widetilde{O}(m + n^{1.5})$ 的运行时间。
• 利用杠杆度数维护与退化感知更新策略，确保IPM迭代过程中的数值稳定性和效率。
• 通过将匹配问题归约为转送问题、最短路径问题与最优运输问题，扩展该算法的适用范围。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在满足 $m = \Omega(n^{1.5})$ 的中等密度图上，为最大基数二分图匹配问题实现近乎线性时间的算法？
• RQ2 在图优化背景下，当使用不精确的线性系统求解器时，如何使内点法具备鲁棒性与高效性？
• RQ3 能否有效结合动态展开图分解与电流传导采样技术，以高效维护IPM迭代？
• RQ4 使用相同核心算法求解转送问题与带负权边的最短路径问题时，其最小运行时间开销是多少？
• RQ5 该框架能否被泛化以处理整数与分数优化问题，并提供加法近似保证？

主要发现

• 本文在中等密度图上实现了 $\widetilde{O}(m + n^{1.5})$ 时间复杂度的最大基数二分图匹配算法，这是数十年来首次在 $O(m\sqrt{n})$ 和 $\widetilde{O}(n^\omega)$ 边界上取得突破。
• 对于满足 $m = n^{9/8 + \delta}$（任意 $\delta > 0$）的图，该算法优于Madry与Liu-Sidford近期工作的 $\widetilde{O}(m^{4/3+o(1)})$ 运行时间。
• 该算法可扩展至精确求解最小费用完美 $b$-匹配、转送问题、带负权边的最短路径问题以及最小均值圈问题，时间复杂度为 $\widetilde{O}((m + n^{1.5})\log^2 W)$。
• 对于具有加法误差 $\epsilon$ 的分数问题，该算法运行时间为 $\widetilde{O}((m + n^{1.5})\log^2(W/\epsilon))$，可高效求解最优运输及相关问题。
• 该框架提供了一种通用的原始-对偶IPM，结合新型采样技术，可有效处理近似求解器带来的不可行性问题，实现更快收敛与更强鲁棒性。
• 通过使用对数障碍函数，该算法实现了更简洁的 $\widetilde{O}(n\sqrt{m})$ 时间复杂度匹配解法，充分展示了新IPM机制的通用性与灵活性。