[論文レビュー] Birth and Death process in mean field type interaction

Marie-Noémie Thai|arXiv (Cornell University)|Oct 12, 2015

Theoretical and Computational Physics参考文献 13被引用数 14

ひとこと要約

本稿は、離散空間上におけるN個の相互作用的出生死滅過程の系を研究しており、遷移率は粒子位置の経験的平均に依存する。ワッサープンカップリングのアプローチを用いて、粒子系およびその平均場極限の両方について、明示的な定量的レートを伴う指数的収束性を確立し、一様な混合の伝播を証明した。

ABSTRACT

The aim of this paper is to study the asymptotic behavior of a system of birth and death processes in mean field type interaction in discrete space. We first establish the exponential convergence of the particle system to equilibrium for a suitable Wasserstein coupling distance. The approach provides an explicit quantitative estimate on the rate of convergence. We prove next a uniform propagation of chaos property. As a consequence, we show that the limit of the associated empirical distribution, which is the solution of a nonlinear differential equation, converges exponentially fast to equilibrium. This paper can be seen as a discrete version of the particle approximation of the McKean-Vlasov equations and is inspired from previous works of Malrieu and al and Caputo, Dai Pra and Posta.

研究の動機と目的

• 離散空間における平均場相互作用を有する相互作用的粒子系の漸近的挙動を分析すること。
• ワッサープンカップリング法を用いて、有限粒子系の指数的エルゴード性を確立すること。
• 経験測度が非線形 McKean-Vlasov 型極限に収束することを保証する一様な混合の伝播を証明すること。
• 粒子系および平均場極限の両方について、平衡状態への収束レートの明示的・定量的評価を導出すること。
• McKean-Vlasov方程式のための粒子近似法を、離散状態・ジャンプ型過程へと拡張すること。

提案手法

• 収束の定量的評価を目的として、ワッサープン距離を用いて粒子系のカップリングを構築する。
• 経験的平均 $ M_t^N $ に依存する状態依存の遷移率を持つ粒子系の生成作用素を定義する。
• リャプノフ関数技術を用いて、過程の非爆発性および正再帰性を証明する。
• ドリフト条件 $ \mathcal{L}V(x) \leq -\kappa V(x) + b_0 N $ を確立し、指数的エルゴード性を導出する。
• マルティングルの問題の定式化を用いて、平均場極限を非線形SDEの解として特徴付ける。
• カップリングによる議論を用いて一様な混合の伝播を証明し、経験測度が非線形フォッカー・プランク方程式に収束することを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 離散空間上における有限個の相互作用的出生死滅過程の系は、どの程度のレートで平衡状態に収束するか？
• RQ2 粒子系の経験測度は、非線形 McKean-Vlasov 方程式の解にどのようない神経的収束を示すか？
• RQ3 離散的平均場相互作用粒子系において、一様な混合の伝播を確立できるか？
• RQ4 平均場相互作用下で、粒子系の指数的エルゴード性を保証する条件は何か？
• RQ5 相互作用関数 $ q^+ $ と $ q^- $ は、長時間挙動および収束レートにどのように影響を与えるか？

主な発見

• 粒子系は、ドリフトおよびリャプノフ解析から導かれる $ \kappa $ で抑えられるレートを伴い、ワッサープン距離において指数的に平衡状態に収束する。
• 経験測度 $ \mu_t^N $ は、非線形 McKean-Vlasov 方程式 (2) の解に法則的に収束し、一様な混合の伝播が成立する。
• 非線形方程式 (2) を解く平均場極限 $ u_t $ は、同じレート $ \kappa $ を用いて指数的に平衡状態に収束する。
• カップリングおよびリャプノフ関数技術を用いて、収束レートの明示的・定量的評価が得られた。
• 仮定 $ d_i - b_i \geq \lambda i - b_0 $ および $ |q^+ - q^-| \leq \alpha(x_i + M^N) $ の下で、系は非爆発的かつ正再帰的である。
• 与えられた条件下で、平均場過程のマルティングルの問題の解の存在および一意性が確立された。