[論文レビュー] Bounds for torsion on abelian varieties with integral moduli

Pete L. Clark|ArXiv.org|Jul 15, 2004

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 14被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、特に $p$-進体における、潜在的に良い還元をもつ局所体上のアーベル多様体のねじれ部分群に対する一様な上限を確立する。$d$ 次元の $p$-進体 $K$ 上の潜在的に良い還元をもつアーベル多様体に対して、ねじれ部分群のサイズは次元、拡大次数、残留素数に依存する関数 $F(d,n,p)$ によって一様に上限づけられ、純粋加法的還元の場合にはより強い上限が得られる。主な貢献は、次数 $\leq3$ の数体上の複素乗法を持つ楕円曲線および整数モジュラーを持つ $\mathbb{Q}$ 上のアーベル曲面の有理ねじれ部分群の可能な位数を分類し、残り11個の候補位数にまで絞り込み、最大で72であることを示したことである。

ABSTRACT

We give a function F(d,n,p) such that if K/Q_p is a degree n field extension and A/K is a d-dimensional abelian variety with potentially good reduction, then #A(K)[tors] is at most F(d,n,p). Separate attention is given to the prime-to-p torsion and to the case of purely additive reduction. These latter bounds are applied to classify rational torsion on CM elliptic curves over number fields of degree at most 3, on elliptic curves over Q with integral j (recovering a theorem of Frey), and on abelian surfaces over Q with integral moduli. In the last case, our efforts leave us with 11 numbers which may, or may not, arise as the order of the full torsion subgroup. The largest such number is 72.

研究の動機と目的

• 潜在的に良い還元をもつ局所体上のアーベル多様体のねじれ部分群のサイズに対する一様な上限を確立すること。
• $\mathbb{Q}$ 上の楕円曲線に対するメレの一律有界性結果を、$p$-進体上の高次元アーベル多様体へ拡張すること。
• 次数が3以下である数体上の複素乗法を持つ楕円曲線の有理ねじれ部分群の可能な位数を分類すること。
• 整数モジュラーを持つ $\mathbb{Q}$ 上のアーベル曲面の全ねじれ部分群の可能な位数を特定し、候補を11個にまで絞ること。

提案手法

• 有限体上の有理点の数に関するワイエルの上限を用いて、$p$-以外のねじれ部分群に対する上限を導出する。具体的には $\#A(K)[\operatorname{tors}]' \leq [(1+\sqrt{q})^{2d}]$ である。
• ネロンモデル、形式群、成分群理論を用いて、潜在的に良い還元の場合の $p$-主ねじれを解析する。
• 次元 $d$、拡大次数 $n$、残留素数 $p$ を用いて、全ねじれ部分群を上限づける関数 $F(d,n,p)$ を導入し、分岐および $p$-進付値のデータを統合する。
• $\mathbb{F}_p$ 上のワイエル多項式の構造を用いて、アーベル曲面の可能なゼータ関数を分類し、タイプI（楕円曲線の積）、タイプII（実乗法）、タイプIII（四次体の複素乗法）を区別する。
• 数体の整数環に属する $j$-不変量によって定義される整数モジュラーの理論を用いて、考察対象となるアーベル多様体のクラスを制限する。
• 得られた上限を特定のケースに適用する：次数 $\leq3$ の体上の複素乗法を持つ楕円曲線、整数 $j$-不変量を持つ $\mathbb{Q}$ 上の楕円曲線、整数モジュラーを持つ $\mathbb{Q}$ 上のアーベル曲面。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 潜在的に良い還元をもつ $p$-進体上の $d$ 次元アーベル多様体のねじれ部分群の最大サイズは、次元 $d$、$n=[K:\mathbb{Q}_p]$、および $p$ に対して一様にどの程度に抑えられるか？
• RQ2 複素乗法を持つ楕円曲線が次数3以下の数体上で定義されるとき、そのねじれ部分群の位数としてどのような値が現れるか？
• RQ3 11個の候補位数 $11, 13, 14, 15, 22, 25, 28, 30, 48, 60, 72$ のうち、整数モジュラーを持つ $\mathbb{Q}$ 上のアーベル曲面の全ねじれ部分群の位数として実際に現れるのはどれか？
• RQ4 還元が純粋加法的である場合、$p$-進体上のアーベル多様体のねじれ部分群は一様に上限づけられるか？
• RQ5 ワイエル多項式の $\mathbb{F}_p$ 上の構造は、アーベル曲面上の有理点の可能な位数にどのように制約を加えるか？

主な発見

• 潜在的に良い還元をもつ $p$-進体上の $d$ 次元アーベル多様体の $p$-以外のねじれ部分群は、残留体のサイズを $q$ とすると、$[(1+\sqrt{q})^{2d}]$ で上限づけられる。
• $p$-主ねじれについては、$[(1+\sqrt{q})^{2d}]_{p} \cdot p^{fd[\frac{e}{p-1}]+2dm_{p}(2d)}$ が上限であり、ここで $e$ は絶対的分岐指数、$m_p(2d)$ は $p$ と互いに素な $N$ に対して $\#GL_{2d}(\mathbb{Z}/N\mathbb{Z})$ の $p$-進付値である。
• 純粋加法的還元の場合、ねじれ位数に含まれる素数は $\ell \leq 2d+1$ に限られ、全ねじれは残留素数に依存しない関数 $Z(d,e)$ で上限づけられる。
• 次数が3以下の数体上の複素乗法を持つ楕円曲線では、ねじれ位数が完全に分類されており、整数モジュラーを持つ $\mathbb{Q}$ 上のアーベル曲面の位数候補は11個にまで絞り込まれた。
• 整数モジュラーを持つ $\mathbb{Q}$ 上のアーベル曲面の全ねじれ部分群の最大位数は72であり、この値が実際に達成されるかどうかは未解決である。
• 論文は、$19$ と $20$ の位数がそれぞれ $J_1(13)$ と $J_1(16)$ のヤコビアンを通じて実現されることを確認した。また、$1$ から $4$、$5$、$6$、$8$、$9$、$10$、$12$、$18$、$24$、$36$ の位数は、楕円曲線の積またはワイエル制限を通じて実現される。